Veränderungen von Graphen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Mark007 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, es geht um Veränderungen von Graphen, durch die Verkettung mit den 3 Funktionen F1(x)= -x F2(x)= x+a F3(x)=bx
Ich soll [mm] \bruch{1}{x} [/mm] vertikal um 4 strecken, und um 5 nach links verschieben!
Was bedeutet um 4 strechen eigentlich?
Ich habe die Aufgabe so gelöst: 4x habe ich verkettet mit [mm] \bruch{1}{x} [/mm] Es kam [mm] \bruch{4}{x} [/mm] raus um es nach links zu verschieben, habe ich dies wiederum mit x+5 Verkettet. Und es kam: [mm] \bruch{4}{x+5} [/mm] heraus. Stimmt das so?
Dann habe ich noch folgende Aufgabe: F(x)= [mm] \wurzel{x} [/mm] soll horizontal um 2 gestreckt werden und um 2 nach links und 1 nach oben verschoben werden! Ich habe bx mit
[mm] \wurzel{x} [/mm] verkettet und es kam: [mm] b*\wurzel{x} [/mm] heraus! Dann habe ich das mit x+2 verkettet, um es um um 2 nach links zu verschieben. Es kam heraus: [mm] b*\wurzel{x+2} [/mm]
Das dann noch +1 und es kommt heraus: (b* [mm] \wurzel{x+2} [/mm] )+1
DOch was muss b sein um den Graphen horizontal um 2 zu strecken ?
3.Aufgabe: F(x)= sin(x) um 3 horizontal strecken, vertikal auf die Hälfte stauchen und um 1 nach rechts und oben verschieben!
Wie funktioniert das strecken und stauchen hierbei?
Danke Dir
|
|
| |
|
Nun, für das vertikale Strecken multiplizierst du deine Funktion mit den Faktor, das hast du schon gezeigt.
Die Funktion wird einfach mit 2 multipliziert, um sie doppelt so hoch zu machen.
Anders ist es beim horizontalen Strecken. Gehen wir auch hier von einem Faktor 2 aus, Das heißt, z.b. eine Nullstelle, die vorher bei x=5 war, soll jetzt bei x=10 liegen.
Nun, die Funktion wird dann null, wenn du eine 5 hineinsteckst, du bekommst aber eine 10 als den Wert, wo die Nullstelle nun liegen soll. Wie machst du aus der 10 eine 5? Du mußt durch 2 teilen!
Mit anderen Worten: als aller erstes mußt du alle x in der Formel durch ( x/<Faktor> ) ersetzen. Anschließend wird verschoben: ( (x/<Faktor>) - <Verschiebung> ), in die Funktion eingesetzt, dann die Funktion vertikal gestreckt und verschoben.
Klar?
ICh denke, die Aufgabe 3 bekommst du dann auch hin, denn die kannst du stur nach dem Prinzip der anderen Aufgaben machen, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:16 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Mark007 |
Danke für die Antwort!
Also ist meine erste Aufagebe richtig?!?>>Ich soll $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ vertikal um 4 strecken, und um 5 nach links verschieben!
Was bedeutet um 4 strechen eigentlich?
Ich habe die Aufgabe so gelöst: 4x habe ich verkettet mit $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ Es kam $ [mm] \bruch{4}{x} [/mm] $ raus um es nach links zu verschieben, habe ich dies wiederum mit x+5 Verkettet. Und es kam: $ [mm] \bruch{4}{x+5} [/mm] $ heraus. Stimmt das so?<<
Zum horizontalen strecken habe ich folgende Frage: Wieso muss in deinem beispiel, wenn ich den Multiplikator 2 habe, die Nullstelle, die erst bei 5 lag, nun bei 10 liegen? Das wäre doch eine verschiebung und keine streckung?!
Wie würde konkret, speziell Aufgabe 2 aussehen? Also die horizontale Streckung vor allem? Und wie heißt dieses Thema "Veränderung von Graphen" Eigentlich richtig? Gibt es da einen Fachausdruck?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Do 04.01.2007 | | Autor: | Mark007 |
Danke für die Antwort!
Also ist meine erste Aufagebe richtig?!?>>Ich soll $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ vertikal um 4 strecken, und um 5 nach links verschieben!
Was bedeutet um 4 strechen eigentlich?
Ich habe die Aufgabe so gelöst: 4x habe ich verkettet mit $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ Es kam $ [mm] \bruch{4}{x} [/mm] $ raus um es nach links zu verschieben, habe ich dies wiederum mit x+5 Verkettet. Und es kam: $ [mm] \bruch{4}{x+5} [/mm] $ heraus. Stimmt das so?<<
Zum horizontalen strecken habe ich folgende Frage: Wieso muss in deinem beispiel, wenn ich den Multiplikator 2 habe, die Nullstelle, die erst bei 5 lag, nun bei 10 liegen? Das wäre doch eine verschiebung und keine streckung?!
Wie würde konkret, speziell Aufgabe 2 aussehen? Also die horizontale Streckung vor allem? Und wie heißt dieses Thema "Veränderung von Graphen" Eigentlich richtig? Gibt es da einen Fachausdruck?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo Mark007,
> Danke für die Antwort!
> Also ist meine erste Aufagebe richtig?!?>>Ich soll
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] vertikal um 4 strecken, und um 5 nach links
> verschieben!
>
> Was bedeutet um 4 strecken eigentlich?
> Ich habe die Aufgabe so gelöst: 4x habe ich verkettet mit
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] Es kam [mm]\bruch{4}{x}[/mm] raus um es nach links zu
> verschieben, habe ich dies wiederum mit x+5 Verkettet. Und
> es kam: [mm]\bruch{4}{x+5}[/mm] heraus. Stimmt das so?<<
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Zum horizontalen strecken habe ich folgende Frage: Wieso
> muss in deinem beispiel, wenn ich den Multiplikator 2 habe,
> die Nullstelle, die erst bei 5 lag, nun bei 10 liegen? Das
> wäre doch eine verschiebung und keine streckung?!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe mal eine andere Funktion gewählt: f(x)=x(x-1)(x+1)
und diese ersetzt durch g(x)=f(2x)=2x(2x-1)(2x+1)
An den Nullstellen erkennst du sehr schnell, dass der Graph in x-Richtung gestaucht wurde.
Wenn nur eine einzige Nullstelle vorliegt, erkennt man das nicht so einfach. 
>
> Wie würde konkret, speziell Aufgabe 2 aussehen? Also die
> horizontale Streckung vor allem? Und wie heißt dieses Thema
> "Veränderung von Graphen" Eigentlich richtig? Gibt es da
> einen Fachausdruck?
nein, eigentlich nicht.
Gebraucht werden solche Überlegungen, wenn man schnell einen Überblick haben will über eine gegebene Funktion, dann überlegt man, durch welche Abbildungen man sie in eine einfachere, bekannte Funktion überführen kann, um so schnell auf weitere Eigenschaften schließen zu können.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Streckung
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Do 04.01.2007 | | Autor: | Mark007 |
Danke für die Antwort!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Do 04.01.2007 | | Autor: | Mark007 |
Hallo informix,
wie ist es bei der Funktion [mm] \wurzel{x} [/mm] ?
Die hat ja nur die eine Nullstelle 0 und selbst wenn ich sie horizontal strecke, verschiebt sich diese nicht! Was muss ich denn nun machen, um [mm] \wurzel{x} [/mm] um 2 horizontal zu strecken? Was bedeutet um 2 strecken überhaupt?
Ich weiß eben nur, dass ich, um [mm] \wurzel{x} [/mm] horizontal um 2 zu strecken, diese Funktion mit kx verketten muss. Also würde herauskommen: [mm] k*\wurzel{x} [/mm]
Und k muss ja kleiner als eins sein! Aber welchen Wert muss k haben?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo Mark007,
> Hallo informix,
> wie ist es bei der Funktion [mm]\wurzel{x}[/mm] ?
> Die hat ja nur die eine Nullstelle 0 und selbst wenn ich
> sie horizontal strecke, verschiebt sich diese nicht! Was
> muss ich denn nun machen, um [mm]\wurzel{x}[/mm] um 2 horizontal zu
> strecken? Was bedeutet um 2 strecken überhaupt?
> Ich weiß eben nur, dass ich, um [mm]\wurzel{x}[/mm] horizontal um 2
> zu strecken, diese Funktion mit kx verketten muss. Also
> würde herauskommen: [mm]k*\wurzel{x}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
dadurch würde der Funktionswert vergrößert/verkleinert werden!
> Und k muss ja kleiner als eins sein! Aber welchen Wert muss
> k haben?
Beim horizontalen Strecken/Stauchen werden die Stellen, an denen die Funktion einen bestimmten Wert annimmt, "auseinander" gezogen oder zusammen gequetscht:
Stauchung:
[mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] : f(1)=1
[mm] g(x)=f(9x)=\wurzel{9x} [/mm] : g(x)=1 ? [mm] $1=f(9x)=\wurzel{9x} \Rightarrow [/mm] 1=9x [mm] \Rightarrow x=\frac{1}{9}$
[/mm]
Statt an der Stelle x=1 wird nun der Wert schon an der Stelle [mm] x=\frac{1}{9} [/mm] erreicht, also weiter links, der Graph ist also mit dem Faktor [mm] \frac{1}{9} [/mm] gestaucht worden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Streckung:
[mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] : f(1)=1
[mm] g(x)=f(\frac{1}{2}x)=\wurzel{\frac{1}{2}x} [/mm] : g(x)=1 ? [mm] $1=f(\frac{1}{2}x)=\wurzel{\frac{1}{2}x} \Rightarrow 1=\frac{1}{2}x \Rightarrow [/mm] x=2$
Statt an der Stelle x=1 wird nun der Wert erst an der Stelle x=2 erreicht, also weiter rechts, der Graph ist also mit dem Faktor 2 gestreckt worden.
Am Bild kannst du allerdings auch erkennen, dass die Streckung/Stauchung als Stauchung/Streckung in y-Richtung interpretiert werden kann.
[mm] f(9x)=\wurzel{9x}=3*\wurzel{x}
[/mm]
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:47 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Mark007 |
Hallo, habe mal ne Frage zu der Aufgabe:
f(x)=sin(x) um 3 horizontal strecken, vertikal auf die Hälfte stauchen und um 1 nach rechts verschieben.
Um 3 horizontal strecken habe ich so prob.: Also sin(1)=0,841470984
sin(kx)
Für x habe ich 3 eingesetzt und jetzt muss ich rausbekommen, was b sein muss, damit sin(3b)=0,841470984 rauskommt. Doch wie rechne ich das aus?
|
|
|
| |
|
Hallo Mark007,
> Hallo, habe mal ne Frage zu der Aufgabe:
> f(x)=sin(x) um 3 horizontal strecken, vertikal auf die
> Hälfte stauchen und um 1 nach rechts verschieben.
>
> Um 3 horizontal strecken habe ich so prob.: Also
> sin(1)=0,841470984
> sin(kx)
> Für x habe ich 3 eingesetzt und jetzt muss ich
> rausbekommen, was b sein muss, damit sin(3b)=0,841470984
> rauskommt. Doch wie rechne ich das aus?
>
Hast du den Artikel Formvariablen in der MatheBank tatsächlich durchgelesen?!
Dann solltest du jetzt zumindestens einen Ansatz zu dieser Aufgabe selbst finden können!
Schließlich sollst du ja den neuen Term nach den Streckungen und Verschiebungen angeben.
Das Beispiel mit den Zahlen diente nur zur Veranschaulichung!
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Mark007 |
Hi informix! Meine Aufgabe war ja: [mm] \wurzel{x} [/mm] horizontal um 2 strecken! Also muss ich ja erstmal draufkommen, was das b in [mm] \wurzel{bx} [/mm] sein muss, um es um 2 zu strecken!
Daher habe ich deine Rechnung umgekehrt und folgendes gerechnet: xmuss nun =2 sein y=1
[mm] Also\wurzel{b2}=1
[/mm]
b2=1
b=0,5 Und daher weiß ich ja, dass b = 0,5sein mauu, um den Graphen horizontal um 2 zu strecken!
Was habe ich denn dann bei der nächsten Aufgabe falsch gemacht? Ich habe versucht genauso folg. zu rechnen! sin(x) soll um 3 horizontal gestreckt werden.
sin(1)=0,841470984
Nun soll x=3 y= 0,841470984 sein. Also habe ich gerechnet: sin(b3)=0,841470984 Doch wie löse ich hier nach b auf?
Achso: Ja, ich habe mir die Seite in der Mathebank zu den Formvariablen durchgelesen!
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo Mark007,
> Hi informix! Meine Aufgabe war ja: [mm]\wurzel{x}[/mm] horizontal um
> 2 strecken! Also muss ich ja erstmal draufkommen, was das b
> in [mm]\wurzel{bx}[/mm] sein muss, um es um 2 zu strecken!
> Daher habe ich deine Rechnung umgekehrt und folgendes
> gerechnet: xmuss nun =2 sein y=1
> [mm]Also\wurzel{b2}=1[/mm]
> b2=1
> b=0,5 Und daher weiß ich ja, dass b = 0,5sein mauu, um den
> Graphen horizontal um 2 zu strecken!
>
> Was habe ich denn dann bei der nächsten Aufgabe falsch
> gemacht? Ich habe versucht genauso folg. zu rechnen! sin(x)
> soll um 3 horizontal gestreckt werden.
> sin(1)=0,841470984
> Nun soll x=3 y= 0,841470984 sein. Also habe ich gerechnet:
> sin(b3)=0,841470984 Doch wie löse ich hier nach b auf?
gar nicht nötig!
[mm] $\sin [/mm] x [mm] \rightarrow \sin(\frac{1}{3}x)$
[/mm]
Die jeweiligen y-Werte erreicht die neue Funktion immer, wenn x dreimal so groß ist wie vor der Streckung:
[mm] \sin(\underbrace{\frac{\pi}{2}}_{\mbox{alter x-Wert}})=1=\sin(\frac{1}{3}*\underbrace{3\frac{\pi}{2}}_{\mbox{neuer x-Wert}}) [/mm] daher gestreckt.
>
> Achso: Ja, ich habe mir die Seite in der Mathebank zu den
> Formvariablen durchgelesen!
> Danke
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Mark007 |
Hi informix, habe ich die beiden Aufgaben richtig gemacht?
[mm] \wurzel{x} [/mm] horizontal um 2 strecken und um 2 nach links und 1 nach oben verschieben: [mm] \wurzel{0,5(x+2)}+1
[/mm]
sin(x) um 3 horizontal strecken, vertikal auf die Hälfte stauchen und um 1 nach rechts und oben verschieben: 0,5sin( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] x-1)+ 1
|
|
|
| |
|
Hallo Mark007,
> Hi informix, habe ich die beiden Aufgaben richtig gemacht?
> [mm]\wurzel{x}[/mm] horizontal um 2 strecken und um 2 nach links
> und 1 nach oben verschieben: [mm]\wurzel{0,5(x+2)}+1[/mm]
Dieser Term besagt: [mm] \wurzel{x} [/mm] wurde zunächst um 2 nach links geschoben, dann auf die Hälfte gestaucht und zum Schluss um 1 nach oben verschoben.
m.a.W. du musst sehr genau auf die Reihenfolge bzw. die Klammerung achten!
Deinem Text gemäß muss es [mm]\wurzel{0,5x+2}+1[/mm] heißen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> sin(x) um 3 horizontal strecken, vertikal auf die Hälfte
> stauchen und um 1 nach rechts und oben verschieben: [mm] $0,5\sin(\bruch{1}{3}x-1)+1$ [/mm]
Vergleiche mit [mm] $0,5\sin(\bruch{1}{3}(x-1))+1$ [/mm] und prüfe selbst, welcher Term den Vorgaben entspricht.
Teste mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot.
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mo 08.01.2007 | | Autor: | Mark007 |
Gut, wenn du so fragst, ist es bestimmt dein Term. Aber wieso? Dein Term besagt doch: sin(x) wurde zunächst um 1 nach rechts verschoben, dann um 3 horizontal gestreckt und dann auf die Hälfte gestaucht. Naja und eben um 1 nach oben verschoben.
Also wäre mein Term richtig?!
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo Mark007,
> Gut, wenn du so fragst, ist es bestimmt dein Term. Aber
> wieso? Dein Term besagt doch: sin(x) wurde zunächst um 1
> nach rechts verschoben, dann um 3 horizontal gestreckt und
> dann auf die Hälfte gestaucht. Naja und eben um 1 nach oben
> verschoben.
>
> Also wäre mein Term richtig?!
> Danke
Entscheide doch selbst, indem du die Terme zeichnest (zeichnen lässt).
Ich habe schon mal ein Bild eingefügt.
Gruß informix
|
|
|
|
