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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Verallgemeinerte Bernoulli Ung
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Verallgemeinerte Bernoulli Ung: Beweis, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Mo 10.03.2014
Autor: klmn

Aufgabe
Beweis folgender Ungleichung

Ich habe irgendwie null Ahnung wie ich da ran gehen sollte.. Mit Induktion oder mit dem Binomischen Lehrsatz…

Wäre sehr glücklich , wenn ihr mir paar Tipps geben könntet..

[mm] \summe_{k=0}^{n} ((n*x)/k)^k \le (1+x)^n \le \summe_{k=0}^{n} ((e*n*x)/k)^k [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Verallgemeinerte Bernoulli Ung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Mo 10.03.2014
Autor: DieAcht

Hallo klmn,


Wir freuen uns übrigens auch über eine nette Begrüßung.

> Beweis folgender Ungleichung
>
> Ich habe irgendwie null Ahnung wie ich da ran gehen
> sollte.. Mit Induktion oder mit dem Binomischen Lehrsatz…

Probieren. ;-)

> Wäre sehr glücklich , wenn ihr mir paar Tipps geben
> könntet..

Okay.

>  [mm]\summe_{k=0}^{n} ((n*x)/k)^k \le (1+x)^n \le \summe_{k=0}^{n} ((e*n*x)/k)^k[/mm]

Falls du die Ungleichung nicht für alle [mm] x\in\IR [/mm] zeigen müsst,
sondern zum Beispiel für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] $x\ge [/mm] -1$, dann kannst
du auch die Bernoullische Ungleichung benutzen. Ansonsten
würde ich Induktion verwenden oder/und den binomischen Lehr-
satz für den mittleren Term benutzen. Zeige also:

      [mm] \summe_{k=0}^{n} ((n*x)/k)^k \le (1+x)^n [/mm] und [mm] (1+x)^n \le \summe_{k=0}^{n} ((e*n*x)/k)^k [/mm]

      [mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung.


Gruß
DieAcht  

Bezug
                
Bezug
Verallgemeinerte Bernoulli Ung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mo 10.03.2014
Autor: klmn

Hallo :-) Tut mir leid bin leicht unter Stress.. Also erstmals vielen Dank für deine Antwort… ich muss die Ungleichung für x>0 zeigen und habe die mittlere Gleichung umgeformt (binomialkoeff.) und komm trotzdem nicht weiter.. aber trotzdem vielen Dank

Bezug
                        
Bezug
Verallgemeinerte Bernoulli Ung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Mo 10.03.2014
Autor: DieAcht

Hallo nochmal,


Stell deine Fragen auch bitte als Fragen und nicht als Mit-
teilungen, denn das übersieht man leicht oft.

> Hallo :-) Tut mir leid bin leicht unter Stress.. Also
> erstmals vielen Dank für deine Antwort… ich muss die
> Ungleichung für x>0 zeigen und habe die mittlere Gleichung
> umgeformt (binomialkoeff.) und komm trotzdem nicht weiter..
> aber trotzdem vielen Dank

Wenn du die Ungleichung für alle [mm] x\in\IR_{>0} [/mm] und [mm] n\in\IN_0 [/mm] zeigen
sollst, dann benutz den Tipp, den ich dir gegeben habe.

Bernoullische Ungleichung!

      [mm] (1+x)^n\ge(1+nx) [/mm] für alle [mm] x\in\IR_{\ge-1} [/mm] und [mm] n\in\IN_0. [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
        
Bezug
Verallgemeinerte Bernoulli Ung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Di 11.03.2014
Autor: fred97


> Beweis folgender Ungleichung
>
> Ich habe irgendwie null Ahnung wie ich da ran gehen
> sollte.. Mit Induktion oder mit dem Binomischen Lehrsatz…
>
> Wäre sehr glücklich , wenn ihr mir paar Tipps geben
> könntet..
>  [mm]\summe_{k=0}^{n} ((n*x)/k)^k \le (1+x)^n \le \summe_{k=0}^{n} ((e*n*x)/k)^k[/mm]


Für k=0 sind die Ausdrücke [mm] \br{n*x}{k} [/mm]  und  [mm] \br{e*n*x}{k} [/mm]  sinnlos !

Ist vielleicht das zu zeigen (für x>0):

[mm]\summe_{k=1}^{n} ((n*x)/k)^k \le (1+x)^n \le \summe_{k=1}^{n} ((e*n*x)/k)^k[/mm]  ?

Wenn ja, so ist jedenfalls die rechte Ungleichung falsch !

Wäre  [mm] (1+x)^n \le \summe_{k=1}^{n} ((e*n*x)/k)^k [/mm] für alle x>0 richtig, so auch für x=0 (Stetigkeit !)

Für x=0 hätten wir dann: 1 [mm] \le [/mm] 0.


Also: wie lautet die Aufgabe korrekt ?

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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