Verallgemeinerter Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:34 So 10.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
bekanntlich ist
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$
[/mm]
fuer jedes [mm] $x\in\IR$. [/mm] Kennt jemand eine allgemeine Aussage ueber den Grenzwert von
[mm] $\left(1+\frac{a_n}{n}\right)^n$
[/mm]
wenn gilt [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n= [/mm] x$ ?
vg Luis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 So 10.01.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Luis,
> bekanntlich ist
>
> $ [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x [/mm] $
>
> fuer jedes $ [mm] x\in\IR [/mm] $. Kennt jemand eine allgemeine Aussage
> ueber den Grenzwert von
>
> $ [mm] \left(1+\frac{a_n}{n}\right)^n [/mm] $
>
> wenn gilt $ [mm] \lim_{n\to\infty} a_n= [/mm] x $ ?
ich vermute mal, du haettest gerne, dass diese Folge gegen $ [mm] \exp(x) [/mm] $ konvergiert?
Das sollte der Fall sein, da die Funktionenfolge $ [mm] \left( \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \right)_{n\in\IN} [/mm] $ lokal gleichmaessig gegen $ [mm] e^x [/mm] $ konvergieren sollte: in dem Fall wuerde sie auf einer klein genugen Umgebung von $ x $ gleichmaessig gegen $ [mm] e^x [/mm] $ konvergieren, und fast alle Folgenglieder $ [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] $ wuerden in dieser Umgebung liegen, womit du dort Grenzwerte vertauschen kannst und somit den Grenzwert $ [mm] e^x [/mm] $ herausbekommst.
Es bleibt also zu zeigen, dass $ [mm] \left( \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \right)_{n\in\IN} [/mm] $ lokal gleichmaessig gegen $ [mm] e^x [/mm] $ konvergiert. Dazu reicht es, das ganze auf einem Ball $ B := [mm] \{ x \in \IC \mid |x| < R \} [/mm] $ anzuschauen. (Oder in $ [mm] \IR [/mm] $, je nachdem wie man es lieber mag.)
Dazu wuerde ich wie folgt vorgehen. Setze $ [mm] a_n^{(k)} [/mm] := [mm] \prod_{i=0}^{k-1} \frac{n - i}{n} [/mm] $. Fuer festes $ k $ gilt $ [mm] \lim_{n\to\infty} a_n^{(k)} [/mm] = 1 $. Daraus folgt, dass $ [mm] \binom{n}{k} [/mm] (x / [mm] n)^k [/mm] $ fuer $ n [mm] \to \infty [/mm] $ gegen $ [mm] \frac{x^k}{k!} [/mm] $ konvergiert; auf $ B $ ist diese Konvergenz gleichmaessig.
Nun ist $ (1 + [mm] x/n)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x/n)^k [/mm] $; und es sollte moeglich sein mit dem ganzen hier zu zeigen, dass $ (1 + [mm] x/n)^n [/mm] $ auf $ B $ gleichmaessig gegen $ [mm] \exp(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} [/mm] $ konvergiert.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Di 12.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Felix,
danke fuer deine (fuer mich anspruchsvolle) Antwort.
Werde mich mal in Ruhe hineinknien.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 12.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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