Verallgemeinerung Heron < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
ich habe nach einer Verallgemeinerung des Satzes von Heron für beliebige Polygone gesucht und eben gelesen, dass dies nicht möglich sein soll.
Kennt jemand nen Link, der den gesamten Beweis zeigt bzw. kann mir den jemand sogar erklären?
lg
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> Hallo,
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> ich habe nach einer Verallgemeinerung des Satzes von Heron
> für beliebige Polygone gesucht und eben gelesen, dass dies
> nicht möglich sein soll.
> Kennt jemand nen Link, der den gesamten Beweis zeigt bzw.
> kann mir den jemand sogar erklären?
>
> lg
Guten Abend Niladhoc,
mit dem "Satz von Heron" meinst du hier wohl die
Formel, die es erlaubt, aus den Seitenlängen eines
Dreiecks allein dessen Flächeninhalt zu berechnen.
Dass es schon für das Viereck keine entsprechende
Formel geben kann (Flächeninhalt berechnen nur
aus den 4 Seitenlängen a,b,c,d allein), kannst du
schon an dem sehr einfachen Beispiel mit 4 gleich
langen Seiten, also a=b=c=d erkennen. Mit diesen
Seitenlängen kannst du z.B. ein Quadrat mit dem
Flächeninhalt [mm] a^2 [/mm] machen, aber z.B. auch einen
Rhombus mit dem Flächeninhalt [mm] \frac{a^2}{2} [/mm] . Die Form und der
Flächeninhalt eines Vierecks ist also durch die
Angabe der Seitenlängen allein überhaupt nicht
bestimmt, und deshalb kann es dazu auch keine
Berechnungsformel geben !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:19 Mi 07.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
> mit dem "Satz von Heron" meinst du hier wohl die
> Formel, die es erlaubt, aus den Seitenlängen eines
> Dreiecks allein dessen Flächeninhalt zu berechnen.
> Dass es schon für das Viereck keine entsprechende
> Formel geben kann (Flächeninhalt berechnen nur
> aus den 4 Seitenlängen a,b,c,d allein), kannst du
> schon an dem sehr einfachen Beispiel mit 4 gleich
> langen Seiten, also a=b=c=d erkennen. Mit diesen
> Seitenlängen kannst du z.B. ein Quadrat mit dem
> Flächeninhalt [mm]a^2[/mm] machen, aber z.B. auch einen
> Rhombus mit dem Flächeninhalt [mm]\frac{a^2}{2}[/mm] . Die Form und
> der Flächeninhalt eines Vierecks ist also durch die
> Angabe der Seitenlängen allein überhaupt nicht
> bestimmt, und deshalb kann es dazu auch keine
> Berechnungsformel geben !
Das kann man auch leicht verallgemeinern fuer $n$-Ecke. Man nimmt ein Quadrat und einen Rhombus, wie oben beschrieben, und tauscht jeweils eine Kante gegen einen Kantenzug bestehend aus $n - 3$ Kanten aus. Wird beim Quadrat und Rhombus der gleiche Kantenzug verwendet, aendert sich der Flaecheninhalt bei beiden um den gleichen Wert (d.h. sie sind immer noch verschieden), und die Kantenlaengenfolgen von beiden entstehenden $n$-Ecken sind gleich.
LG Felix
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