Verallgemeinerung Hurwitz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen.
geg. Matrix Q, symmetrisch, größer als 2x2
Ist es möglich über Hauptminore auch Negative Definitheit, Negative Semidefinitheit und Indefinitheit bei allen Matrizen größer als 2x2 eindeutig zu bestimmen?
Positive (Semi-)Definitheit klappt schon für einige Matrizen > als 2x2. Nur für oben genannte Fälle habe ich die Kriterien nicht vorliegen.
Meine Idee:
Negativ Definit, wenn alle Hauptminoren von - Q > 0 sind
Negativ Semidefinit, wenn alle Hauptminoren von - Q > 0 und mindestens ein Hauptminor =0 ist
Indefinit, wenn mindestens ein Hauptminor > und Einer < 0 ist
Danke Euch,
MfG Peter
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Hallo Peter,
> Meine Idee:
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> Negativ Definit, wenn alle Hauptminoren von - Q > 0 sind
O.K.
> Negativ Semidefinit, wenn alle Hauptminoren von - Q > 0
> und mindestens ein Hauptminor =0 ist
Da gibt's einen Widerspruch  geneint ist wohl alle Hauptminoren von - Q [mm] \ge [/mm] 0
Die eigentliche Defintion von SemiDefinitheit ist ja [mm] x^TAx\ge [/mm] 0
nimm jetzt A= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] und probiere dein Kriterium und [mm] x^TAx\ge [/mm] 0
> Indefinit, wenn mindestens ein Hauptminor > und Einer < 0
> ist
Wenn indefinit heiß nicht positiv und nicht negativ definit ja. wenn Du semidefinit mit dazunimmst zieht das Gegenbsp. wohl auch.
viele Grüße
mathemaduenn
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Huhu Zusammen.
Meine Aussage:
Negativ Semidefinit, wenn alle Hauptminoren von - Q > 0 und mindestens ein Hauptminor =0 ist
Mit "alle" war selbstverständlich "alle anderen Hptminore." gemeint.
Von Mathemaduenn aufgeführtes Bsp. [mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ist nach den von mir genannten erweiterten Hurwitz-Kriterien
wegen Hauptmin. 1 =0 und Hauptmin. 2 =-1 negativ-semidefinit, so wie ich das verstanden hab, richtig?
Mathemaduenns Aussage:"Wenn indefinit heiß nicht positiv und nicht negativ definit ja. wenn Du semidefinit mit dazunimmst zieht das Gegenbsp. wohl auch.", Habe ich leider nicht verstanden.
Abzüglich kleiner Formulierungsmißverständnisse kann man also die oben genannte Erweiterung der Hurwitz-Kriterien (nach meine Idee:) anwenden, ja?
Danke Euch,
LG Peter
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Hallo Peter,
Nochmal zurück zum Bsp.
[mm]x^TAx= \vektor{x_1 \\ x_2}^T \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \vektor{x_1 \\ x_2}=\pmat{ x_1 & x_2 } \vektor{x_2 \\ x_1}=2x_1x_2[/mm]
Hier sieht man das die Matrix indefinit sein muß. Für den Vektor [mm] (-1,1)^T [/mm] kommt was negatives raus und für den Vektor [mm] (1,1)^T [/mm] was positives.
> Mathemaduenns Aussage:"Wenn indefinit heiß nicht positiv
> und nicht negativ definit ja. wenn Du semidefinit mit
> dazunimmst zieht das Gegenbsp. wohl auch.", Habe ich leider
> nicht verstanden.
Das nehm ich zurück.
Dabei fällt mir auf meine Matrix erfüllt ja dein "negativ semidefinit" Kriterium gar nicht. Hast Du aber auch nicht gemerkt, weil wir folgendem kurzsichtigen Irrtum aufgesessen sind.
Hauptminoren von -Q >0 [mm] \gdw [/mm] Haupminoren von Q<0
Das stimmt nicht. Man kann aber trotzdem ein Gegenbsp. finden.
viele Grüße
mathemaduenn
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Huhu Mathemaduenn.
Sehe gerade gemäß Hurwitz für 2x2-Matrizen ist
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] eindeutig indefinit, wie Du zuletzt erwähntest.
Da die det A < 0 ist.
Wonach würdest Du die Definitheit denn am ehesten bestimmen, wenn man nichtnur mit 2x2 Matrizen zu tun hat sondern auch Größeren?
Mit der Verallgemeinerung klappts wohl nicht so super.
Bestimmung der Definitheit über die quadratische Form ist für meine Zwecke zu umständlich..
Oder kann man bei Matrizen größer als 2x2 nurnoch exakt zwischen positiv und positiv semidefinit unterscheiden?
Danke im Voraus,
VG Peter 
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Hallo Peter,
> Sehe gerade gemäß Hurwitz für 2x2-Matrizen ist
> A= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] eindeutig indefinit, wie Du
> zuletzt erwähntest.
> Da die det A < 0 ist.
Da verstehe ich dein Kriterium nicht der erste Hauptminor ist doch Null. Diese Matrix würde also aus deinem Raster fallen. Du kannst Dir aber das folgende Gegenbsp. für dein Semidefinitheitskriterien überlegen. Nimm eine Diagonalmatrix( alle Einträge außer der auf der Diagonalen=0) deren erstes Element auch gleich Null ist. Dann sind alle Hauptminoren Null. Man kann aber durch Wahl der anderen einträge beliebig positiv oder negativ semidefinite Matrizen oder auch indefinite Matrizen erzeugen. Das kannst ja mal ausprobieren.
> Wonach würdest Du die Definitheit denn am ehesten
> bestimmen, wenn man nichtnur mit 2x2 Matrizen zu tun hat
> sondern auch Größeren?
Für symmetrische Matrizen( für die ja auch das Hurwitzkrit. da ist) mittels Cholesky-Zerlegung. Existiert sie ist die Matrix pos. definit und umgekehrt.
> Mit der Verallgemeinerung klappts wohl nicht so super.
> Bestimmung der Definitheit über die quadratische Form ist
> für meine Zwecke zu umständlich..
> Oder kann man bei Matrizen größer als 2x2 nurnoch exakt
> zwischen positiv und positiv semidefinit unterscheiden?
Es trifft auf jeden Fall einer der Fälle
1. pos. def.
2. pos. semidef.
3. indefinit
4. neg. semidef.
5. neg. definit
ein.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Zusammen.
geg.:
[mm] \pmat{ -10 & 3 & 5/2 \\ 3 & 2 & 3/2 \\ 5/2 & 3/2 & 3 }
[/mm]
Habe versucht die Definitheit über Hauptminoren zu bestimmen.
Meine Ergebnisse für die Hauptminoren: a1=-10 , a2=-29 ,a3=-54,5.
Maple gibt an die Matrix sei indefinit.
Ich kriege raus, die Matrix ist negativ definit und negativ semidefinit, gemäß Hurwitz.
Wer hat Recht, und warum?
Danke Euch im Voraus,
Gruß Peter
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Hallo Peter,
> [mm]\pmat{ -10 & 3 & 5/2 \\ 3 & 2 & 3/2 \\ 5/2 & 3/2 & 3 }[/mm]
>
> Habe versucht die Definitheit über Hauptminoren zu
> bestimmen.
>
> Meine Ergebnisse für die Hauptminoren: a1=-10 , a2=-29
> ,a3=-54,5.
> Maple gibt an die Matrix sei indefinit.
> Ich kriege raus, die Matrix ist negativ definit und
> negativ semidefinit, gemäß Hurwitz.
>
> Wer hat Recht, und warum?
Maple. Um negativ definit zu sein müssen zunächst mal alle Diagonalelemente negativ sein sonst kann man in die Definitheitsdefinition [mm]x^TAx<0 \forall x[/mm] für x die Einheitsvektoren einsetzen.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Zusammen.
Suche eine 3x3-Matrix mit folgenden Eigenschaften:
1. Hauptminor > 0
2. Hauptminor = 0
3. Hauptminor > 0
Fällt Euch eine derartige Matrix ein? Wenn nicht, woran liegt's?
Danke im Voraus,
Servus, Peter.
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Hallo Peter,
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 }
[/mm]
Wofür brauchst Du das?
viele Grüße
mathemaduenn
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Huhu mathemaduenn und Andere.
Notiere mir aktuell zu jedem möglichen Fall für die Hauptminoren (m1>0, m1<0, m1=0) einer 3x3 Matrix je eine Beispielmatrix mit der zugehörigen Aussage über die Definitheit . Sind abzählbar viele, aber doch recht viele Möglichkeiten.
Fällt Euch zufällig eine 3x3 Matrix mit m1<0, m2=0, m3=0 ein.
(m1-m3 = Hauptminore)
Danke Euch im Voraus,
Ahoi, Peter.
[mm] :\circ)
[/mm]
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Hallo Peter,
[mm] \pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c }
[/mm]
Du kannst die Parameter a,b,c sicher so wählen das Deine Bedingungen erfüllt sind und die Matrix negativ semidefinit oder indefinit ist.
viele grüße
mathemaduenn
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Hallo Zusammen.
Ist die Aussage korrekt?
Es gibt keine 3x3 Matrix deren 1. Hauptminor >0 ist, deren 2. Hauptminor =0 ist und deren 3. Hauptminor >0 ist.
Fällt Euch andernfalls ein Gegenbsp. ein?
Danke!
bye, Peter
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Hallo Peter,
Diese Frage hattest Du doch schon gestellt? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ist daran was unklar?
viele Grüße
mathemduenn
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Huhu Zusammen.
Hatte ich komplett vergessen, daß wir diesen Matrixtyp schon durchgekaut hatten.
Habe aus Versehen nochmal Deine Bsp.-Matrix durchgeknobelt.
Ergab sich bei mir der Eindruck, daß sie nochnicht symmetrisch ist. Habe sie symmetrisiert und es ergab:
[mm] \pmat{ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
In dieser symmetrischen Form hätte Deine Bsp.-Matrix die Hauptminore m1>0, m2=0, m3=0, glaube ich.
Hab ich da jetzt n Fehler reingebaut oder wie siehst Du das?
Wie ich oben schrieb, prüfe ich das Hurwitz Kriterium durch. Hätte evtl. nochmal explizit schreiben sollen, daß dafür nur symmetrische Matrizen in Frage kommen. (Dachte es sei mit der Äußerung "Hurwitz Kriterium" inkludent..)
Also:
Suche eine symmetrische 3x3-Matrix mit folgenden Eigenschaften:
1. Hauptminor > 0
2. Hauptminor = 0
3. Hauptminor > 0
Würde mich riesig über ein Bsp. dafür freuen, falls Eines existiert.
(Glaube aber nicht an seine/ihre Existenz.)
Danke Euch/Dir herzlich,
Gruß, Peter
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Hallo Peter,
O.K. symmetrisch
Bsp.1:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Bsp.2:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1,5}
[/mm]
viele grüße
mathemaduenn
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Hey Zusammen,Mathemaduenn.
Zu Deinen Bspen., Mathemaduenn:
Bsp. 1 hat die Eigenschaft m1=1, m2=0, m3=0 ---->pos. semidefinit
Bsp. 2 hat die Eigenschaft m1=1, m2=0, m3=-1 ---->indefinit
Siehst Du Das auch so?
Suche eine symmetrische 3x3-Matrix mit folgenden Eigenschaften:
1. Hauptminor m1> 0
2. Hauptminor m2= 0
3. Hauptminor m3> 0
Habt Ihr eine Derartige griffbereit?
Würde mich riesig über ein Bsp. dafür freuen, falls Eines existiert.
Danke Euch/Dir,
Tschüss, Peter.
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Hallo Peter,
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") da hab ich mich doch verrechnet ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
> Zu Deinen Bspen., Mathemaduenn:
> Bsp. 1 hat die Eigenschaft m1=1, m2=0, m3=0 ---->pos.
> semidefinit
> Bsp. 2 hat die Eigenschaft m1=1, m2=0, m3=-1
> ---->indefinit
>
> Siehst Du Das auch so?
Das sehe ich nur so falls der Pfeil kein "daraus folgt" bedeuten soll.
Da [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] die gleichen Hauptminoren wie die Matrix aus Bsp 1 hätte aber indefinit wäre.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 20.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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