Veranschaulichung Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich halte demnächst einen Vortrag (eine Unterrichtsstunde) in unserem LK Kl. 11 über die Substitutionsregel bei Integralen.
Ich wollte euch fragen, ob ihr eine Methode kennt, die Substitution möglichst anschaulich zu erklären?
Zum Beispiel wäre mir als ein lernender Schüler sicher ein Rätsel, warum das dx "ausgetauscht" werden muss. Das kann man doch sicher irgendwie veranschaulichen? Es sind ja im Grunde die Abstände der Argumente, die substituiert werden müssen, aber so richtig ist mir noch nichts eingefallen...
Vielen Dank für Eure Mühe
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 So 09.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Ich halte demnächst einen Vortrag (eine Unterrichtsstunde)
> in unserem LK Kl. 11 über die Substitutionsregel bei
> Integralen.
> Ich wollte euch fragen, ob ihr eine Methode kennt, die
> Substitution möglichst anschaulich zu erklären?
> Zum Beispiel wäre mir als ein lernender Schüler sicher ein
> Rätsel, warum das dx "ausgetauscht" werden muss. Das kann
> man doch sicher irgendwie veranschaulichen? Es sind ja im
> Grunde die Abstände der Argumente, die substituiert werden
> müssen, aber so richtig ist mir noch nichts eingefallen...
>
> Vielen Dank für Eure Mühe
>
> Stefan
Hallo Stefan
zumindest für eine lineare Substitution (z.B. 3x durch z ersetzen) geht es wirklich leicht zu veranschaulichen.
Nehmen wir als Beispiel den Flächeninhalt unter dem Graphen von [mm] y=\wurzel{3x} [/mm] in den Grenzen von 1 bis 5.
(Skizze!). Du kannst bei der Substitution den Graphen lassen wie er ist. Lediglich die x-Achse erhät eine 2. Beschriftung.
Die Stellen 1, 2, 3 usw. beschriftest du neu mit 3, 6, 9, usw und nennst diese Zahlen nicht mehr x, sondern z.
Den Flächeninhalt kannst du sofort als Integral über Wurzel(z) berechnen, musst aber einen Fehler korrigieren: Jede z-Einheit ist ja in Wirklichkeit nur 1/3 x-Einheiten breit, also musst du dein Rechenergebis des Integrierens durch 3 teilen (so, wie man bei der Substitution eben dann dx durch dz/3 ersetzt).
Viele Grüße
Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:27 So 09.03.2008 | | Autor: | oli_k |
Zum Austausch von dx:
Die Definition der Ableitung nach x sollte ja jeder von euch kennen (a'=da/dx).
Wenn du also z.B. [mm] z=x^2 [/mm] setzt, so ist z'=2x. In der Form von oben also: [mm] 2x=d(x^2)/dx. [/mm] Das [mm] x^2 [/mm] ersetzt du nun wieder mit z und erhältst 2x=dz/dx und somit auch dx=2x/dz. Jetzt kannst du also schonmal erklären, warum man es auf diese Art austauschen muss.
Der Grund für das Austauschen liegt ganz einfach da drin, dass du ja das x mit dem z im Term ersetzt. Wenn alles gut gelaufen ist, bleibt kein x mehr übrig, sondern nur noch ein bzw. mehrere z. Nun kann man z ja schlecht nach x integrieren (dx), sondern viel besser nach z. Also sucht man sich das "passende" dz aus, um das dx zu ersetzen.
Grüße
Oli
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Hallo!
Anschaulich ersetzen wir eine zu berechnende Fläche durch eine andere, die denselben Flächeninhalt hat, aber leichter zu berechnen ist.
Beispiel
[mm] $\int_1^5 \sqrt{2\,x-1} \, \mathrm{d} [/mm] x $ kenntzeichnet eine Fläche zwischen dem Graphen einer Wurzelfunktion und der $x$-Achse.
Die Substitution [mm] $u^2 [/mm] = [mm] 2\,x-1$ [/mm] liefert
[mm] $\int_1^3 u^2\, \mathrm{d} [/mm] u$.
Die Fläche unter der Normalparabel in den Grenzen von 1 bis 3.
Ist leichter zu berechnen!
Noch einsichtiger wird es bei der nichtlinearen Substitution:
Viertelkreis mit Radius 5 um den Ursprung.
$y & = [mm] \sqrt{25 - x^2 } \qquad [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5 $
[mm] $\int_0^5 \sqrt{25-x^2} \, \mathrm{d} [/mm] x$
Substitution $ x = [mm] 5\,\sin(u)$.
[/mm]
Ergibt nach einigen Zeilen
[mm] $25\,\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(u)\, \mathrm{d} [/mm] u $
Einfacher zu berechnen mittels [mm] $2\,\cos^2(u) [/mm] = [mm] \cos(2\,u)+1$.
[/mm]
Gruß
mathemak
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Vielen Dank für die vielen Antworten!
Ich denke, dass ich jetzt viele Anregungen und Ideen habe und werde mich gleichmal ransetzen, um das genauer auszuarbeiten.
Nur noch eine Frage:
So richtig behandelt wird diese Anschaulichkeit aber irgendwie nirgendwo, oder?
Ich habe schon zwei Schulbücher abgesucht; auch mehrere Analysis-Bücher.
Habt/Kennt ihr vielleicht ein Buch, wo das mal gemacht wird?
Warum macht man es denn eigentlich nicht?
Vielen Dank für Eure Mühe 
Stefan
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Hallo!
Findet man eher selten. Auch in älteren Büchern nicht. Rechnen Rechnen Rechnen.
Ich habe es in einem Buch aus Österreich gefunden 
Gruß
mathemak
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Wie hieß denn dieses Buch?
Welche ISBN hat es ?
Vielen Dank für die Antwort
Stefan
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Weiß nicht von welchem Buch genau die Rede war.
Aber ein Tipp:
Mathematik für Ingenieure, Band 1 von Lothar Papula hat das schön mit Beispielen auch einfacher Art erklärt.
Das kannst du überall ausleihen.
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Danke, ich werde mir das Buch mal angucken
Stefan
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Vielleicht solltest du mit folgender Idee anfangen:
Ich hatte mir eine Vereinfachung ausgedacht, aber sie funktioniert nicht. Berechnet werden soll
[mm] \integral_{a}^{b}{(3x^5) dx}. [/mm]
Zur Vereinfachung benenne ich [mm] t=3x^5. [/mm] Also habe ich nun
[mm] \integral_{a}^{b}{t dx}. [/mm]
das gibt [mm] \bruch{1}{2}t^2 [/mm] = [mm] \bruch{9}{2}x^{10}.
[/mm]
Tatsächlich ist aber [mm] \integral_{a}^{b}{(3x^5) dx}=\bruch{1}{2}x^6. [/mm]
Was habe ich falsch gemacht?
So kommst du darauf, dass das dx irgendwie nicht zu dem t passt.
Lösung: Entweder darf man gar nicht substituieren, oder man muss das dx "irgendwie" durch dt ersetzen.
Frage: Was haben dx und dt miteinander zu tun? Was bedeuten Sie überhaupt?
Nun stellst du t als Funktion von x dar und drückst den Zusammenhang als Ableitung aus.
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Danke!
Ja; ich denke es ist gut wenn man das Problem erstmal vor Augen führt, dass es so einfach nicht geht
Werde ich auf jeden Fall machen.
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 So 09.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Stefan
Ich würd auf die Riemannsummen eingehen, und schon darin substituieren, d.h. die x Achse neu definieren, also quadratisch usw. dann siehst du, dass bei nicht linearer Substitution die Kurve ja an verschiedenen Stellen sehr verschieden "verzerrt, bzw. gedehnt oder gestaucht wird. der "Dehnungsfaktor" ist genau die Ableitung, und wenn man dann den Teil mit der linearen Subst. kapiert hat. ist das andere klar.
Das operieren mit dz macht das nur zur Merkregel, in Wirklichkeit mit z=f(x) z'=f'. multiplizierst du einfach mit 1/f' um die Verzerrung zu "kompensieren.
Als Merkregel schreibt man dann dx=dz/f' und setzt das für dx ein.
Das macht mehr Sinn, als das ja eigentlich nur symbolische dz einzusetzen. das man im Integral überhaupt ein dx oder dz usw. einsetzt, ist und war nicht immer üblich.
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) } [/mm] macht genausoviel Sinn! erst wenn man Funktionen f(x,t,s) hat gibt das dx oder ds oder dt an über was man integrieren muss.
Also auch wenn man nur [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) } [/mm] schreibt, und z durch g(x) substituiert hat man danach [mm] \integral_{a}^{b}{f(z) *1/g'}
[/mm]
Vielleicht hilft dir auch der Anhang, den ich früher mal gepostet habe.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank auch Dir, leduart!
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Ich habe mal probiert, aber so ganz komme ich noch nicht dahinter wie man das mit den Riemannschen Summen machen müsste...
Ich habe zum Beispiel die Funktion
[mm]f(x) = (2x+3)^{2}[/mm]
Ich möchte den Flächeninhalt unter der Funktion im Intervall [0,a] wissen. Jetzt könnte ich ja einfach schreiben
[mm]A = \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\left(f\left(\bruch{a}{n}*k\right)\right)*\left(\bruch{a}{n}\right)[/mm]
[mm] = \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\left(2*\bruch{a}{n}*k+3\right)^{2}*\left(\bruch{a}{n}\right)[/mm]
Und jetzt müsste ich ja "irgendwie" substituieren, weil ich möchte ja auf den Ausdruck der Form
[mm] = \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{u}{n}*k\right)^{2}*\left(\bruch{u}{n}\right)[/mm]
kommen, aber ich weiß nicht wie...
Ich habe schon einiges probiert, aber so richtig wird das nichts. Muss vielleicht irgendwo noch ein zusätzlicher Faktor eingeschoben werden; oder muss man schon gleich von Anfang an etwas anders machen?
Vielen Dank für jede Hilfe
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 Di 11.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du u=2x+3 setzt musst du statt von 0 bis a von 3 bis 2a+3 summieren um über dasselbe Stück zu reden. das Intervall ist also doppelt so lang und du hast in der Summe jetzt [mm] (\bruch{u}{n}*k)^2*\bruch{2a}{n}
[/mm]
derselbe Faktor 2 den du bei u=2x+3 du=2dx hast. Die u Stücke sind doppelt solang wie die x Stücke.
Gruss leduart
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