Veranschaulichung im Komplexen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die folgenden Teilmengen von [mm] \IC [/mm] veranschauliche man sich in der komplexen Zahlenebene.
Seien a,b,z [mm] \in \IC [/mm]
1) R={z:Im [mm] \bruch{z-a}{b}=0 [/mm] }, H={z:Im [mm] \bruch{z-a}{b}>0 [/mm] }
also hier gehts ja eigentlich noch, wenn ich sage, dass z=x+i*y ist, dann ist R(z)=0 also ist R einfach die Ursprungsgerade, oder?? oder H ist dann alles oberhalb der dieser Ursprungsgerade.
2) G ={z:Im [mm] \bruch{z}{b}=1 [/mm] }, H={z:Im [mm] \bruch{z}{b}>0 [/mm] }
3) U ={z: [mm] |z|^2 [/mm] - [mm] 2Re(\overline{a}*z)+\alpha=0 [/mm] }, [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
4) T = {z: [mm] |z-a|=\lambda*|z-b| [/mm] } [mm] \lambda [/mm] > 0
5) D = {z: [mm] |z-a|=|1-\overline{a}*z| [/mm] }, |a|< 1
So aber jetzt bei diesen übrigen komme ich irgendwie nicht zurecht und kann mir das nicht so vorstellen,wie ich das machen muss.
Kann mir vielleicht jemand helfen??
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mo 02.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du darauf, dass wenn Im $ [mm] \bruch{z-a}{b}=0 [/mm] $
dass dann Re(z)=0
a,b sind komplexe Zahlen. schreib erstmal [mm] \bruch{z-a}{b} [/mm] so auf, dass man Re und Im ablesen kann. dann erst Im=0 setzen. Das gibt zwar ne Gerade bei mir aber nicht durch 0 und wie haengt sie von a=a1+ia2 und b=b1+ib2 ab?
entsprechend fuer die anderen fkt. also einfach z=x+iy einsetzen.
Beispiel 2
[mm] z/b=(x+iy)/(b_1+ib_2) [/mm] mit [mm] b_1-ib_2 [/mm] erweitern.
[mm] z/b=x*b_1+y*b_2 -ib_2x+ib_1_y
[/mm]
also Im(z/b)=b_1y-b_2x
und jetzt das =1 setzen.
Ich hab mit absicht nur die einfachste vorgemacht, damit du noch deinen Spass an den anderen hast.
Gruss leduart
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Hi, also dann zu a) nochmal.
setze [mm] a=a_{1}+ia_{2}, b=b_1+ib_2, [/mm] z=x+iy einfach mal in [mm] \bruch{z-a}{b} [/mm] ein, dann bekomme ich:
[mm] \bruch{x+iy-a_{1}-ia_{2}}{b_1+ib_2}, [/mm] so muss ich jetzt auch wieder wie in dem anderen Beispiel erweitern oder kann ich jetzt schon sagen:
Im( [mm] \bruch{x+iy-a_{1}-ia_{2}}{b_1+ib_2})=\bruch{i(y-a_2)}{i*b_2}??? [/mm] Hier würde sich ja sogar das i dann wegkürzen und es würde nur [mm] \bruch{(y-a_2)}{b_2}, [/mm] aber irgendwas kann da doch nicht stimmen, oder?? wie soll man das jetzt zeichnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi, also dann zu a) nochmal.
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> setze [mm]a=a_{1}+ia_{2}, b=b_1+ib_2,[/mm] z=x+iy einfach mal in
> [mm]\bruch{z-a}{b}[/mm] ein, dann bekomme ich:
>
> [mm]\bruch{x+iy-a_{1}-ia_{2}}{b_1+ib_2},[/mm] so muss ich jetzt auch
> wieder wie in dem anderen Beispiel erweitern oder kann ich
> jetzt schon sagen:
>
> Im(
> [mm]\bruch{x+iy-a_{1}-ia_{2}}{b_1+ib_2})=\bruch{i(y-a_2)}{i*b_2}???[/mm]
nein, das wirst Du i.a. nicht einfach sagen können. Das liegt einfach an folgendem:
Sind [mm] $w=\,r+i*s=1*r+i*s$ [/mm] und [mm] $z=\,x+i*y=1*x+i*y$ [/mm] ($r,s,x,y [mm] \in \IR$) [/mm] komplexe Zahlen mit $w [mm] \not=0\,,$ [/mm] dann gilt:
[mm] $$\frac{z}{w}=\frac{x+i*y}{r+i*s}=\frac{x+i*y}{r+i*s}*\frac{r-i*s}{r-i*s}=1*\underbrace{\frac{xr+ys}{r^2+s^2}}_{ \in \IR}+i*\underbrace{\frac{yr-xs}{r^2+s^2}}_{\in \IR}\,.$$
[/mm]
Erst an der letzten Darstellung kann man [mm] $\text{Re}\left(\frac{z}{w}\right)$ [/mm] und [mm] $\text{Im}\left(\frac{z}{w}\right)$ [/mm] ablesen, denn nur, wenn man [mm] $\tilde{z}=1*\alpha+i*\beta$ [/mm] mit [mm] $\alpha, \;\beta \blue{\in \IR}$ [/mm] schreiben kann, erkennt man [mm] $\alpha=\text{Re}(\tilde{z})$ [/mm] und [mm] $\beta=\text{Im}(\tilde{z})\,.$
[/mm]
Und wenn Du oben
[mm] $$z/w=1*\frac{x}{r+i*s}+i*\frac{y}{r+i*s}$$
[/mm]
schreiben würdest, dann wäre das Problem, dass [mm] $\frac{1}{r+i*s}$ [/mm] im allgemeinen keine reelle Zahl sein muss.
(So eine 'Formel' oben, wie Du sie 'rätst': [mm] $\red{\text{Im}\left(\frac{z}{w}\right)=\frac{i*\text{Im}(z)}{i*\text{Im}(w)}=\frac{\text{Im}(z)}{\text{Im}(w)}}$ [/mm] (ich habe sie in rot geschrieben, weil sie i.a. falsch ist!), kann man ja mal vermuten, aber man sollte sie auch mal an Beispielen überprüfen. Da solltest Du eigentlich relativ schnell auch selbst ein Gegenbeispiel finden können, teste die 'Formel' mal für
[mm] $z\,=w=1+i*1\,.$)
[/mm]
Also:
Beachtet man, dass [mm] $|w|^2=w*\overline{w} \in \IR\,,$ [/mm] so erkennt man, dass man, um Real- und Imaginärteil von
[mm] $$\frac{z}{w}$$
[/mm]
ablesen zu können, mit dem konjugiert komplexen des Nennern erweitern sollte:
[mm] $$\frac{z}{w}=\frac{z}{w}*\frac{\overline{w}}{\overline{w}}\,.$$
[/mm]
P.S.:
Tipp:
Wenn Dir das ganze oben zu abstrakt erscheint:
Wegen [mm] $i^2=-1$ [/mm] gilt [mm] $\frac{1}{i}=-i\,.$
[/mm]
Berechne einfach mal für $w=i$ den Term [mm] $\frac{z}{w}=\frac{x+iy}{i}$ [/mm] zunächst unter Verwendung von [mm] $\frac{1}{i}=-i$ [/mm] und les' danach Real- und Imaginärteil von [mm] $z/w\,$ [/mm] ab.
Jetzt nimm' wieder [mm] $z/w=\frac{x+i*y}{i}$ [/mm] und, um Real- und Imaginärteil von [mm] $\frac{x+i*y}{i}$ [/mm] ablesen zu können, gehe nun den 'allgemeineren Weg', der oben erwähnt wurde, d.h. erweitere [mm] $\frac{x+i*y}{i}$ [/mm] mit dem konjugiert komplexen des Nenners und 'sortiere' danach nach Real- und Imaginärteil.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:07 Di 03.03.2009 | | Autor: | jaruleking |
Hi Marcel, super super vielen Dank für deine sehr, sehr ausfürliche Erklärung!! Hatte vorhin dann leider nicht mehr so viel Zeit.
Beste Grüße
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