Vereinfachung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Do 20.05.2010 | | Autor: | tumas |
| Aufgabe | | (1) [mm] \bruch{-20ab-100b^{3}}{a^{4}+20a^{3}b+120a^{2}b^{2}+100ab^{3}+100b^{4}} [/mm] |
Kann ich bei dieser Funktion, zumindest die [mm] \bruch{-100b^{3}}{100b^{4}} [/mm] der Funktion (1) zusammenfassen zu : [mm] \bruch{-b^{4}}{b^{3}}
[/mm]
Dann möchte ich noch Fragen, wie ich sehen kann ob die Funktion (1) positiv ist oder negativ ist, also steigt oder fällt ?
Vielen Dank für eure Geduld und Hilfe !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Do 20.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo tumas!
Nein, so darfst Du nicht zusammenfassen. Denn dies fällt in die Kategorie von:
Aus Differenzen und Summen kürzen nur die ...
Zu der anderen Frage solltest Du uns vielleicht mal etwas mehr Infos (z.B. zu $a_$ und $b_$ oder gar die Ausgangsaufgabenstellung!) verraten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Do 20.05.2010 | | Autor: | tumas |
| Aufgabe | | (2) [mm] \bruch{10b^{2}}{(a+5b)^{2}} [/mm] |
Die oben genannte Funktion (2) ist die 1 Ableitung einer anderen Funktion. Die Funktion (2) ist die Ausgangslage. Diese Funktion ist postitiv, somit steigt die Funktion nach a. Ich muss nun (2) nochmals ableiten nach a.
Nun soll die 2 Ableitung nach a zeigen, ob die Funktion einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt hat. Die 2 Ableitung ist (1) und ich wollte Fragen, ob die Funktion negativ ist oder positiv. Nun wollte ich noch Fragen, ob ich korrekt abgeleitet habe ;) Vielen Dank Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Do 20.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo tumas!
Jetzt verrate uns auch bitte endlich mal alles! Nach welcher Variable soll hier überhaupt abgeleitet werden?
Nur weil alle Funktionswerte positiv sind, heißt das noch lange nicht, dass auch die Funktion überall ansteigt (Gegenbeispiel: $f(x) \ = \ [mm] e^{-x}$ [/mm] ).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Do 20.05.2010 | | Autor: | tumas |
Ich gebe zu ein kleines Chaos gebaut zu haben ;)
Die Aufgabe besagt, dass
(3) [mm] \bruch{\partial f(a,b)}{\partial a} [/mm] = [mm] \bruch{10b^2}{(a+5b)^{2}}
[/mm]
Die Frage ist, wenn die Steigung so aussieht wie (3), steigt die Ausgangsfunktion oder fällt sie ? (Die Ausgangsfunktion ist nicht gegeben).
Weiterhin soll man überprüfen, wie die zweite partielle Ableitung nach a aussieht, ob sie positiv oder negativ ist.
Ich würde nun die Quotientenregel zur Hand nehmen und (3) nochmals partiel nach a ableiten. Also:
U(a,b)= [mm] 10b^{2}
[/mm]
U'(a,b)= 0
V(a,b) = [mm] (a+5b)^{2}
[/mm]
V'(a,b) = [mm] 2*(a+5b)^{1}*1
[/mm]
Muss ich bei V' die Kettenregel nehmen?
Nun stelle ich die zweite Ableitung auf:
[mm] \bruch{\partial^{2} f(a,b)}{\partial a^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{0*(a+5b)^{2}-10b^{2}*2*(a+5b)^{1}*1}{(a+5b)^{4}} [/mm]
Dies vereinfache ich zu:
[mm] \bruch{\partial^{2} f(a,b)}{\partial a^{2}} [/mm] = [mm] \bruch {-20b^{2}*(a+5b)^{1}}{(a+5b)^{4}} [/mm]
Vereinfache ich weiter zu:
[mm] \bruch{\partial^{2} f(a,b)}{\partial a^{2}} =\bruch {-20b^{2}}{(a+5b)^{3}} [/mm]
Ist dies korrekt, und ist die zweite Ableitung kleiner 0 oder grösser und wie kann ich dies herausfinden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die Funktion steigt in Richtung a überall weil $ [mm] \bruch{\partial f(a,b)}{\partial a}>0 [/mm] $ für [mm] b\ne0 [/mm]
das Vorzeichen von
$ [mm] \bruch{\partial^{2} f(a,b)}{\partial a^{2}} =\bruch {-20b^{2}}{(a+5b)^{3}} [/mm] $ ist positiv für a+5b<0 und negativ für a+5b<0 für a+5b=0 ist die fkt nicht definiert, sie und die ableitungen werden in der Nhe beliebig gross.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Do 20.05.2010 | | Autor: | tumas |
Hallo Leduart,
habe ich den richtig abgeleitet ?
Und was hast du genau getan, um zu sehen ob die zweite Ableitung nach a negativ ist ?
Vielen Vielen Dank für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine 2.te Abl. ist richtig. allerdings wär es schneller gewesen [mm] 2b^2*(a+5b)^{-2} [/mm] zu differenzieren. da ja 2b12 hier nur ein konstanter faktor ist.
wegen [mm] b^2>0 [/mm] ist der Zähler immer negativ.
der nenner ist pos, wenn die Klammer pos ist, [mm] (pos)^3=pos
[/mm]
und [mm] (neg)^3=neg. [/mm] wenn also der nenner neg ist ist Z/N positiv.
so einfach!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Do 20.05.2010 | | Autor: | tumas |
Gegeben das [mm] (4)\bruch{-a}{b} [/mm] die zweite Ableitung einer Funktion darstellt, dann wäre diese jetzt positiv, b>0 .
Gegeben das (5) [mm] \bruch{a}{-b} [/mm] die zweite Ableitung einer Funktion darstellt, dann wäre diese nun negativ, da b<0.
Und in meinem Fall:
[mm] \bruch{\partial^{2} f(a,b)}{\partial a^{2}} =\bruch {-20b^{2}}{(a+5b)^{3}} [/mm] ist der Nenner [mm] (a+5b)^{3} [/mm] >0 und deshalb ist die zweite Ableitung positiv? Ich hoffe ich habe das richtig zusammgefasst? Ich würde das gerne allgemein in mein lernskript einpflegen, deshalb die Nachfrage ;)
Und die erste Ableitung war : [mm] \bruch{10b^2}{(a+5b)^{2}} [/mm] und weil [mm] (a+5b)^{2} [/mm] >0 gilt auch hier die erste Ableitung ist positiv?
Vielen Dank nochmal für eure Hilfe !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Gegeben das [mm](4)\bruch{-a}{b}[/mm] die zweite Ableitung einer
> Funktion darstellt, dann wäre diese jetzt positiv, b>0 .
nein sie wäre positiv für a<0 und b>0, auch pos für a>0und b<0 (setz och einfach Zahlen ein!
> Gegeben das (5) [mm]\bruch{a}{-b}[/mm] die zweite Ableitung einer
> Funktion darstellt, dann wäre diese nun negativ, da b<0.
nein, b ist ne Zahl, die kann pos und neg. sein, wenn b negativ ist, ist -b positiv!, also a=3, b=-2 -b=2
a/(-b)=3/2>0
das Vorzeichen vor ner Variablen heisst doch nicht, dass die immer dieses Vorzeichen hat. -a kann pos. oder negativ sein!!! +a kann pos oder neg. sein.
> Und in meinem Fall:
>
> [mm]\bruch{\partial^{2} f(a,b)}{\partial a^{2}} =\bruch {-20b^{2}}{(a+5b)^{3}}[/mm]
> ist der Nenner [mm](a+5b)^{3}[/mm] >0 und deshalb ist die zweite
nein wieso sollte der Nenner immer positiv sein? a+5b ist doch negativ wenn a<-5b ist als Beispiel a=1 b=-2 a+5b=-9
oder a=-1,b=-1 a+5b=-6 oder a=-8,b=1 a+5b=-3
das hoch 3 ist immer noch negativ. andere Werte von a und b machen den nenner positiv. [mm] b^2 [/mm] ist IMMER positiv, also ist [mm] -20b^2 [/mm] immer negativ. der Bruch ist dann positiv wenn Z und N negativ sin, also wenn a+5b<0 er ist negativ, wenn der nenner positiv ist,
Der Bruch ,d,h. die Ableitung kann also je nach a und b positiv oder negativ sein. wo er das ist kannst du hinschreiben.
Gruss leduart.
> Ableitung positiv? Ich hoffe ich habe das richtig
> zusammgefasst? Ich würde das gerne allgemein in mein
> lernskript einpflegen, deshalb die Nachfrage ;)
>
> Und die erste Ableitung war : [mm]\bruch{10b^2}{(a+5b)^{2}}[/mm]
> und weil [mm](a+5b)^{2}[/mm] >0 gilt auch hier die erste Ableitung
> ist positiv?
hier sind Z und N Quadrate mit pos vorzeichen, das ist wirklich immer > 0 ausser der Z=0 also b=0
bitte lies langsamer und gründlicher!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Vielen Dank Leduart, deine Antwort hat mir sehr sehr geholfen! In Zukunft lese ich auch langsamer ;) Eine Frage hätte ich noch, wie würdest du die Teilbereiche herausarbeiten, bei denen die Funktion ansteigt und sinkt ? Mit einer Wertetabelle ? Gibt es vielleicht auch die Möglichkeit eine multivariate Funktion zu ploten ?
Vielen Dank nochmals !
LG
TUMAS
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Hallo, bilde die 1. Ableitung, ist die 1. Ableitung kleiner Null, so fällt die Funktion, ist die 1. Ableitung größer Null, so steigt die Funktion, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Hallo, vielen Dank für die Antwort!
Wie schreibe ich denn auf, wo die Ableitung [mm] \bruch{\partial^{2} f(a,b)}{\partial a^{2}} =\bruch {-20b^{2}}{(a+5b)^{3}} [/mm] negativ ist und wo positiv? Wie macht man das mathematische korrekt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Fr 21.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Z.B.:
$ [mm] \bruch {-20b^{2}}{(a+5b)^{3}} [/mm] < 0 [mm] \gdw (a+5b)^3>0 \gdw [/mm] a+5b >0 [mm] \gdw [/mm] a>-5b$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Fr 21.05.2010 | | Autor: | tumas |
Ich verstehe deine Erklärung. Leider stellt mich die Aufgabenstellung nur vor die Frage, ob die zweite Ableitung negativ ist oder positiv.
Kann man eine Aussage treffen, ohne Zahlen für die Variablen einzusetzen?
[mm] \bruch{\partial^{2} f(a,b)}{\partial a^{2}} =\bruch {-20b^{2}}{(a+5b)^{3}} [/mm]
Im Grund bedeutet das doch, wenn ich keine Zahlen einsetze, das der Bruch negativ ist ?
Vielen Dank für eure Geduld :D ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Fr 21.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bedeutet es eben nicht!
Du kannst nicht sagen, die Ableitung ist positiv oder negativ, sondern sie wechselt ihr Vorzeichen bei a=-5b (wo sie nicht def. ist)
wenn du etwa f(x)=x hast kannst du doch auch nicht sagen, die fkt ist positiv, sondern nur, sie ist pos für x>0
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du im ersten post geschrieben hast ist weder die erste noch die 2 te noch irgendeine Ableitung nach a der fkt von a, die du im 2 ten post schriebst. Also schreib wirklich die eigentliche Aufgabe auf.
gruss leduart
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