Vereinfachung eines Bruches < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Fr 28.09.2012 | | Autor: | Flupac |
| Aufgabe | | Vereinfache den gegebenen Bruch. |
Hallo erstmal an alle :)
ich bin neu in diesem Forum und komme auch gleich mit einer Frage daher.
Und zwar geht es um folgenden Bruch, der vereinfacht werden soll:
[mm] \bruch{a+b}{ \wurzel{a} + \wurzel{b}}
[/mm]
Ich habe zwei Stunden an der Aufgabe dran gesessen, habe schon quadriert ohne Erfolg und schon alle möglichen Erweiterungen probiert. Ich denke, man muss es mit irgendwas erweitern.
Habe schon versucht die Wurzel im Nenner irgendwie wegzubekommen, geht auch wenn man mit (sqrt(a) - sqrt(b)) erweitert, aber vereinfacht ist das dann eigentlich nicht.
Hatte vorher auch die Aufgabe:
[mm] \bruch{a-b}{ \wurzel{a} - \wurzel{b}}
[/mm]
Da ging es allerdings recht einfach, indem man mit ( [mm] \wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b}) [/mm] erweitert hat. Dann steht unten nur noch a-b, was man dann einfach kürzen kann und als Ergebnis [mm] (\wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b}) [/mm] rauskommt.
Aber bei der ersten Aufgabe bin ich leider echt ratlos, und wäre schon für einen Tipp oder eine Hilfestellung dankbar ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Fr 28.09.2012 | | Autor: | chrisno |
Für mich ist der Bruch schon so einfach wie möglich. Ich lasse mich gerne überraschen, daher schreibe ich das nur als Mitteilung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Fr 28.09.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich hab nun Wolfram alpha gefragt. Das ist der gleichen Meinung wie ich. Ich denke mal, der Bruch steht da, um klarzumachen, dass durch das Austauschen des Minuszeichens nun nichts mehr geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Fr 28.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo chrisno,
falls das hier demokratisch abläuft, beteilige ich mich auch gern.
Deine Analyse, die Wolfram offenbar unterstützt, finde auch ich richtig. 
Im übrigen bin ich alles andere als ein Mitläufer, sondern lege großen Wert auf eine eigenständige Meinung. Will heißen: ich habs auch selbst gerechnet.
Am allergrüßesten,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Sa 29.09.2012 | | Autor: | chrisno |
Hallo Reverend,
selbst probiert habe ich auch. Soweit ich diese Terme kenne, war da von vorneherein für mich keine Vereinfachung erkennbar. Doch will ich nicht die Möglichkeit ausschließen, dass ich etwas übersehen habe.
Hallo HJK...
wenn rationalisieren gemeint ist, dann muss auch rationalisieren da stehen.
Hallo Flupac,
ich meine, dass diese Aufgabe genau deshalb dabei ist, damit das passiert, was Du gemacht hast. Ausprobieren und feststellen, dass da nichts mehr zu holen ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Fr 28.09.2012 | | Autor: | Flupac |
Hallo,
vielen Danke für die schnellen Antworten, hätte ich jetzt nicht gedacht, dass es keine Vereinfach mehr gibt, sondern dass ich einfach nur nicht die Lösung sehe, aber man lernt ja nie aus ;)
Ein schönes Wochenende an alle
Gruß Felix
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Der Ausdruck "Vereinfachen" lässt sich so oder so interpretieren. Gemeint ist wohl "Rationalisieren". Darunter versteht man in der Bruchrechnung, dass der Nenner keine Wurzelzeichen enthalten soll. Nun wendest du wieder die 3. bin. Formel an, indem du diesmal mit [mm] \wurzel{a} [/mm] - [mm] \wurzel{b} [/mm] erweiterst. Leider lässt sich dann nichts wegkürzen, und der Term sieht wirklich komplizierter aus.
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> Der Ausdruck "Vereinfachen" lässt sich so oder so
> interpretieren. Gemeint ist wohl "Rationalisieren".
> Darunter versteht man in der Bruchrechnung, dass der Nenner
> keine Wurzelzeichen enthalten soll. Nun wendest du wieder
> die 3. bin. Formel an, indem du diesmal mit [mm]\wurzel{a}[/mm] -
> [mm]\wurzel{b}[/mm] erweiterst. Leider lässt sich dann nichts
> wegkürzen, und der Term sieht wirklich komplizierter aus.
Man darf sich in diesem Zusammenhang auch einmal
die Frage nach dem Sinn des "Rationalisierens" der
Nenner von Brüchen stellen.
Vor der Zeit der Taschenrechner und Computer hatte
man dafür wirklich sehr starke "rationale" Argumente,
denn die Division durch irrationale Werte (bzw. Werte
mit vielen Dezimalstellen für eine ausreichende
Rechengenauigkeit) war seit jeher für alle von Hand
(und höchstens noch mittels Tabellen) auszuführenden
Rechnungen ein Graus.
Solche den Rechenaufwand betreffenden Argumente
reichen jedenfalls seit Jahrzehnten nicht mehr aus,
um die Forderung zu begründen, dass Nenner unbedingt
rational gemacht werden sollen, auch wenn Terme dabei
insgesamt komplizierter werden.
LG
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Sa 29.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
Deinem Argument kann ich gut folgen, und gerade der vorliegende Bruch [mm] \bruch{a+b}{\wurzel{a}+\wurzel{b}} [/mm] ist ja ein hervorragendes Beispiel dafür, dass eine Darstellung mit (womöglich) nicht rationalem Nenner sogar elegant sein kann. Sind a und b Quadratzahlen, vereinfacht sich der Bruch u.U., jedenfalls wird er rational, und z.B. für a=36,b=4 sogar ganzzahlig.
Das Prinzip der "Rationalisierung" des Nenners hat aber einen ganz anderen Vorteil, nämlich den einer vergleichbaren "Normaldarstellung". Ist der Nenner rational und der Bruch ganz "ausgekürzt", so gibt es eben keine Variante mehr - der Bruch ist "eindeutig" (genauer: seine Darstellung ist eindeutig). Dabei sollte man vielleicht sogar noch die maximale rationale Faktorisierung im Nenner und die maximale reelle Fakorisierung im Zähler verlangen, um eine wirklich möglichst normierte Darstellung zu erlangen.
Das ist auch eine wesentliche Vorübung für Brüche in den komplexen Zahlen. Da kann es ja durchaus mehrere elegante Darstellungen geben, aber eben nur eine mit (reellem) rationalen Nenner. Ähnliches gilt für Brüche, bei denen Zähler und Nenner aus [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] stammen.
Trotz aller möglicherweise verpassten Eleganz möchte ich daher lieber bei der üblichen Auflage bleiben, auch wenn - wie gesagt - gerade der hier vorliegende Bruch ein gutes Beispiel dafür ist, dass die normierte Form nicht immer die "schönste" ist.
Herzliche Grüße
reverend
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> Hallo Al,
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> Deinem Argument kann ich gut folgen, und gerade der
> vorliegende Bruch [mm]\bruch{a+b}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}[/mm] ist ja
> ein hervorragendes Beispiel dafür, dass eine Darstellung
> mit (womöglich) nicht rationalem Nenner sogar elegant sein
> kann. Sind a und b Quadratzahlen, vereinfacht sich der
> Bruch u.U., jedenfalls wird er rational, und z.B. für
> a=36,b=4 sogar ganzzahlig.
>
> Das Prinzip der "Rationalisierung" des Nenners hat aber
> einen ganz anderen Vorteil, nämlich den einer
> vergleichbaren "Normaldarstellung". Ist der Nenner rational
> und der Bruch ganz "ausgekürzt", so gibt es eben keine
> Variante mehr - der Bruch ist "eindeutig" (genauer: seine
> Darstellung ist eindeutig). Dabei sollte man vielleicht
> sogar noch die maximale rationale Faktorisierung im Nenner
> und die maximale reelle Fakorisierung im Zähler verlangen,
> um eine wirklich möglichst normierte Darstellung zu
> erlangen.
>
> Das ist auch eine wesentliche Vorübung für Brüche in den
> komplexen Zahlen. Da kann es ja durchaus mehrere elegante
> Darstellungen geben, aber eben nur eine mit (reellem)
> rationalen Nenner. Ähnliches gilt für Brüche, bei denen
> Zähler und Nenner aus [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm] stammen.
>
> Trotz aller möglicherweise verpassten Eleganz möchte ich
> daher lieber bei der üblichen Auflage bleiben, auch wenn -
> wie gesagt - gerade der hier vorliegende Bruch ein gutes
> Beispiel dafür ist, dass die normierte Form nicht immer
> die "schönste" ist.
>
> Herzliche Grüße
> reverend
Hallo reverend,
natürlich habe ich auch daran gedacht, dass es für das
rational-Machen des Nenners auch noch dieses Argument
der Vergleichbarkeit gibt - obwohl vielleicht noch näher
abgeklärt werden müsste, ob für die Eindeutigkeit der
Darstellung (bei komplexeren Termen) nicht noch weitere
Regeln herangezogen werden müssten.
Der Hauptpunkt meiner Bemerkung lag darin, dass
rein rechentechnische Argumente jedenfalls nicht aus-
reichen, um Nenner zu verpönen, welche noch Wurzeln
enthalten.
Wenn es also nur um die exakte Darstellung des
Schlussergebnisses einer Rechnung geht, welches
nicht noch weiter verwendet werden muss, würde
ich also nicht zwingend auf rationalem Nenner
beharren, falls ein Resultatterm mit Wurzel im
Nenner deutlich einfacher daherkommt.
LG, Al
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