Vereinfachung von Ausdrücken < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck soweit wie möglich:
$x = (a [mm] \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c) [mm] \lor (\overline{a} \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c)$ |
| Aufgabe 2 | Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck soweit wie möglich:
$x = [mm] (\overline{a} \lor [/mm] b [mm] \lor \overline{c}) \wedge [/mm] (a [mm] \lor [/mm] b [mm] \lor \overline{c})$ [/mm] |
| Aufgabe 3 | Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck soweit wie möglich:
$x = (a [mm] \wedge \overline{b} \wedge \overline{c}) \lor [/mm] (a [mm] \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c) [mm] \lor [/mm] (a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \wedge \overline{c})$ [/mm] |
Hallo,
ich habe ein paar Probleme damit die drei von mir gegebenen Audrücke zu vereinfachen, weil ich bekomme in der Regel nicht die Lösung heraus, die angeben ist. Vielleicht forme ich auch falsch um, weiß ich leider nicht recht so.
So bin ich bei Aufgabe 1 vorgegangen:
$x = (a [mm] \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c) [mm] \lor (\overline{a} \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c)$
Dann klammer ich [mm] $\overline{b}$ [/mm] aus:
$x = [mm] \overline{b} \wedge [/mm] ((a [mm] \lor c)\wedge(\overline{a}\lor [/mm] c))$
Dann klammere ich $c$ aus:
$x = [mm] \overline{b} \wedge [/mm] (c [mm] \lor [/mm] (a [mm] \wedge \overline{a}))$
[/mm]
$ (a [mm] \wedge \overline{a})$ [/mm] ist immer NICHT WAHR. $c$ ODER-Verknüpft mit NICHT WAHR ist $c$.
$x = [mm] (\overline{b} \wedge [/mm] c)$
Laut Lösung auch so richtig.
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Vorgehen bei Aufgabe 2:
$x = [mm] (\overline{a} \lor [/mm] b [mm] \lor \overline{c}) \wedge [/mm] (a [mm] \lor [/mm] b [mm] \lor \overline{c})$
[/mm]
Ich klammere zuerst b aus:
$x = b [mm] \lor ((\overline{a} \wedge \overline{c})\lor(a \wedge \overline{c}))$
[/mm]
Dann klammere ich [mm] $\overline{c}$ [/mm] aus:
$x = b [mm] \lor (\overline{c} \wedge (\overline{a} \lor [/mm] a))$
[mm] $(\overline{a} \lor [/mm] a)$ ist immer WAHR. WAHR mit [mm] $\overline{c}$ [/mm] UND-verknüpft bleibt [mm] $\overline{c}$: [/mm]
$x = (b [mm] \lor \overline{c})$
[/mm]
Laut Lösung auch so richtig.
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Vorgehen be Aufgabe 3:
$x = (a [mm] \wedge \overline{b} \wedge \overline{c}) \lor [/mm] (a [mm] \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c) [mm] \lor [/mm] (a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \wedge \overline{c})$
[/mm]
Zuerst klammere ich $a$ aus:
$x = a [mm] \wedge ((\overline{b} \lor \overline{c})\wedge(\overline{b} \lor c)\wedge(b \lor \overline{c}))$
[/mm]
Dann klammere ich [mm] $\overline{b}$ [/mm] aus:
$x = a [mm] \lor (((\overline{b} \lor (\overline{c} \wedge [/mm] c)) [mm] \wedge [/mm] (b [mm] \lor \overline{c})$
[/mm]
[mm] $\overline(c) \wedge [/mm] c$ ist immer NICHT WAHR. Mit [mm] $\overline{b}$ [/mm] ODER-verknüft bleibt [mm] $\overline{b}$
[/mm]
$x = a [mm] \wedge (\overline{b} \wedge [/mm] (b [mm] \lor \overline{c}))$ [/mm]
Laut Lösung ist aber $a [mm] \wedge (\overline{b} \lor \overline{c})$ [/mm] richtig.
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Ich glaube, dass nur durch Zufall bei Aufgabe 1 und 2 das richtige herauskam, weil bei Aufgabe 3 bin ich ja genau gleich vorgegangen, trotzdem kommt was falsches heraus. Kann mir jemand sagen, welche Fehler ich mache?
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Di 11.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz zu einem Punkt:
> ...
> [mm]x = a \wedge (\overline{b} \wedge (b \lor \overline{c}))[/mm]
>
> Laut Lösung ist aber [mm]a \wedge (\overline{b} \lor \overline{c})[/mm]
> richtig.
das ist doch das gleiche:
wurde korrigiert
$$a [mm] \wedge (\overline{b} \wedge [/mm] (b [mm] \lor \overline{c}))=a \wedge ((\overline{b} \wedge [/mm] b) [mm] \vee (\overline{b} \red{\wedge} \overline{c}))=\ldots$$
[/mm]
(Das siehst Du nun selbst, oder? Es gilt doch sowas wie $a [mm] \wedge [/mm] (b [mm] \vee [/mm] c)=(a [mm] \wedge [/mm] b) [mm] \vee [/mm] (a [mm] \wedge [/mm] c)$ und sowas wie $a [mm] \vee [/mm] (b [mm] \wedge [/mm] c)=(a [mm] \vee [/mm] b) [mm] \wedge [/mm] (a [mm] \vee [/mm] c)$ - also "Distributivitäten".)
Gruß,
Marcel
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Okay, danke dir.
Sind denn meine einzelnen Umforumgen richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Do 13.12.2012 | | Autor: | JPM87 |
> So bin ich bei Aufgabe 1 vorgegangen:
>
> [mm]x = (a \wedge \overline{b} \wedge c) \lor (\overline{a} \wedge \overline{b} \wedge c)[/mm]
>
> Dann klammer ich [mm]\overline{b}[/mm] aus:
>
> [mm]x = \overline{b} \wedge ((a \lor c)\wedge(\overline{a}\lor c))[/mm]
>
> Dann klammere ich [mm]c[/mm] aus:
>
> [mm]x = \overline{b} \wedge (c \lor (a \wedge \overline{a}))[/mm]
>
> [mm](a \wedge \overline{a})[/mm] ist immer NICHT WAHR. [mm]c[/mm]
> ODER-Verknüpft mit NICHT WAHR ist [mm]c[/mm].
>
> [mm]x = (\overline{b} \wedge c)[/mm]
>
> Laut Lösung auch so richtig.
Stimmt so nicht ganz. Wenn du [mm] \overline{b} [/mm] ausklammern willst sieht es so aus:
$ = [mm] \overline{b} \wedge [/mm] ((a [mm] \wedge c)\lor(\overline{a}\wedge [/mm] c)) $
$ = [mm] \overline{b} \wedge [/mm] (c [mm] \wedge [/mm] (a [mm] \lor \overline{a}) [/mm] $
$ = [mm] (\overline{b} \wedge [/mm] c) $
> Vorgehen bei Aufgabe 2:
>
> [mm]x = (\overline{a} \lor b \lor \overline{c}) \wedge (a \lor b \lor \overline{c})[/mm]
>
> Ich klammere zuerst b aus:
>
> [mm]x = b \lor ((\overline{a} \wedge \overline{c})\lor(a \wedge \overline{c}))[/mm]
>
> Dann klammere ich [mm]\overline{c}[/mm] aus:
>
> [mm]x = b \lor (\overline{c} \wedge (\overline{a} \lor a))[/mm]
>
> [mm](\overline{a} \lor a)[/mm] ist immer WAHR. WAHR mit [mm]\overline{c}[/mm]
> UND-verknüpft bleibt [mm]\overline{c}[/mm]:
>
> [mm]x = (b \lor \overline{c})[/mm]
>
> Laut Lösung auch so richtig.
Hier negieren wir den kompletten Therm:
$ [mm] \overline{ (\overline{a} \lor b \lor \overline{c}) \wedge (a \lor b \lor \overline{c}) } [/mm] $
und daraus ergibt sich:
$ (a [mm] \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c) [mm] \lor (\overline{a} \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c) $
$ = c [mm] \wedge \overline{b}(a \lor \overline{a}) [/mm] $
$ = c [mm] \wedge \overline{b} [/mm] $
Und das ist das Selbe wie:
$ [mm] \overline{c \wedge \overline{b}} [/mm] = [mm] \overline{c} \lor [/mm] b $
> Vorgehen be Aufgabe 3:
>
> [mm]x = (a \wedge \overline{b} \wedge \overline{c}) \lor (a \wedge \overline{b} \wedge c) \lor (a \wedge b \wedge \overline{c})[/mm]
>
> Zuerst klammere ich [mm]a[/mm] aus:
>
> [mm]x = a \wedge ((\overline{b} \lor \overline{c})\wedge(\overline{b} \lor c)\wedge(b \lor \overline{c}))[/mm]
>
> Dann klammere ich [mm]\overline{b}[/mm] aus:
>
> [mm]x = a \lor (((\overline{b} \lor (\overline{c} \wedge c)) \wedge (b \lor \overline{c})[/mm]
>
> [mm]\overline(c) \wedge c[/mm] ist immer NICHT WAHR. Mit
> [mm]\overline{b}[/mm] ODER-verknüft bleibt [mm]\overline{b}[/mm]
>
> [mm]x = a \wedge (\overline{b} \wedge (b \lor \overline{c}))[/mm]
>
> Laut Lösung ist aber [mm]a \wedge (\overline{b} \lor \overline{c})[/mm]
> richtig.
$ = [mm] \overline{b} \wedge [/mm] ((a [mm] \wedge \overline{c}) \lor [/mm] (a [mm] \wedge [/mm] c)) [mm] \lor [/mm] a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \wedge \overline{c} [/mm] $
$ = [mm] (\overline{b} \wedge [/mm] a) [mm] \lor [/mm] (a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \wedge \overline{c}) [/mm] $
$ = a [mm] \wedge (\overline{b} \lor [/mm] b [mm] \wedge \overline{c}) [/mm] $
$ = a [mm] \wedge (\overline{b} \lor \overline{c}) [/mm] $
Allgemein verdrehst du beim Ausklammer AND und OR und verfälscht somit die ganzen Therme.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:42 Do 13.12.2012 | | Autor: | JPM87 |
> Hallo,
>
> nur kurz zu einem Punkt:
> > ...
> > [mm]x = a \wedge (\overline{b} \wedge (b \lor \overline{c}))[/mm]
> >
> > Laut Lösung ist aber [mm]a \wedge (\overline{b} \lor \overline{c})[/mm]
> > richtig.
>
> das ist doch das gleiche:
> [mm]a \wedge (\overline{b} \wedge (b \lor \overline{c}))=a \wedge ((\overline{b} \wedge b) \vee (\overline{b} \vee \overline{c}))=\ldots[/mm]
Nein es ist nicht das Gleiche da du falsch zusammengefasst hast:
$ = a [mm] \wedge ((\overline{b} \wedge [/mm] b) [mm] \vee (\overline{b} \wedge \overline{c})) [/mm] $
So müsste die Umformung lauten und dies ist entspricht nicht der Lösung.
>
> (Das siehst Du nun selbst, oder? Es gilt doch sowas wie [mm]a \wedge (b \vee c)=(a \wedge b) \vee (a \wedge c)[/mm]
> und sowas wie [mm]a \vee (b \wedge c)=(a \vee b) \wedge (a \vee c)[/mm]
> - also "Distributivitäten".)
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 00:49 Fr 14.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > nur kurz zu einem Punkt:
> > > ...
> > > [mm]x = a \wedge (\overline{b} \wedge (b \lor \overline{c}))[/mm]
> > >
> > > Laut Lösung ist aber [mm]a \wedge (\overline{b} \lor \overline{c})[/mm]
> > > richtig.
> >
> > das ist doch das gleiche:
> > [mm]a \wedge (\overline{b} \wedge (b \lor \overline{c}))=a \wedge ((\overline{b} \wedge b) \vee (\overline{b} \vee \overline{c}))=\ldots[/mm]
>
> Nein es ist nicht das Gleiche da du falsch zusammengefasst
> hast:
>
> [mm]= a \wedge ((\overline{b} \wedge b) \vee (\overline{b} \wedge \overline{c}))[/mm]
>
> So müsste die Umformung lauten und dies ist entspricht
> nicht der Lösung.
richtig - ich habe da einfach copy & paste gemacht (von der erwarteten
Lösung habe ich den Teil reinkopiert). Vermutlich war das aber nur ein
Verschreiber (vom Fragesteller), dass das nun [mm] $\red{\wedge}$ [/mm] mit
einem [mm] $\vee$ [/mm] verwechselt wurde.
Prinzipiell gilt aber natürlich: Auch ich sollte bei sowas mitdenken. 
Danke für den Hinweis!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Do 13.12.2012 | | Autor: | JPM87 |
> So bin ich bei Aufgabe 1 vorgegangen:
>
> $ x = (a [mm] \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c) [mm] \lor (\overline{a} \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c) $
>
> Dann klammer ich $ [mm] \overline{b} [/mm] $ aus:
>
> $ x = [mm] \overline{b} \wedge [/mm] ((a [mm] \lor c)\wedge(\overline{a}\lor [/mm] c)) $
>
> Dann klammere ich $ c $ aus:
>
> $ x = [mm] \overline{b} \wedge [/mm] (c [mm] \lor [/mm] (a [mm] \wedge \overline{a})) [/mm] $
>
> $ (a [mm] \wedge \overline{a}) [/mm] $ ist immer NICHT WAHR. $ c $
> ODER-Verknüpft mit NICHT WAHR ist $ c $.
>
> $ x = [mm] (\overline{b} \wedge [/mm] c) $
>
> Laut Lösung auch so richtig.
Stimmt so nicht ganz. Wenn du $ [mm] \overline{b} [/mm] $ ausklammern willst sieht es so aus:
$ x = [mm] \overline{b} \wedge [/mm] ((a [mm] \wedge c)\lor(\overline{a}\wedge [/mm] c)) $
und das ergibt durch Absorption 1 ( $ x [mm] \lor \overline{x} \wedge [/mm] y = x [mm] \lor [/mm] y $ ) $ x = [mm] (\overline{b} \wedge [/mm] c) $
> Vorgehen bei Aufgabe 2:
>
> $ x = [mm] (\overline{a} \lor [/mm] b [mm] \lor \overline{c}) \wedge [/mm] (a [mm] \lor [/mm] b [mm] \lor \overline{c}) [/mm] $
>
> Ich klammere zuerst b aus:
>
> $ x = b [mm] \lor ((\overline{a} \wedge \overline{c})\lor(a \wedge \overline{c})) [/mm] $
>
> Dann klammere ich $ [mm] \overline{c} [/mm] $ aus:
>
> $ x = b [mm] \lor (\overline{c} \wedge (\overline{a} \lor [/mm] a)) $
>
> $ [mm] (\overline{a} \lor [/mm] a) $ ist immer WAHR. WAHR mit $ [mm] \overline{c} [/mm] $
> UND-verknüpft bleibt $ [mm] \overline{c} [/mm] $:
>
> $ x = (b [mm] \lor \overline{c}) [/mm] $
>
> Laut Lösung auch so richtig.
Hier negieren wir den kompletten Therm:
$ [mm] \overline{ (\overline{a} \lor b \lor \overline{c}) \wedge (a \lor b \lor \overline{c}) } [/mm] $
und daraus ergibt sich:
$ (a [mm] \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c) [mm] \lor (\overline{a} \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c) $
$ = c [mm] \wedge \overline{b}(a \lor \overline{a}) [/mm] $
$ = c [mm] \wedge \overline{b} [/mm] $
Und das ist das Selbe wie:
$ [mm] \overline{c \wedge \overline{b}} [/mm] = [mm] \overline{c} \lor [/mm] b $
> Vorgehen be Aufgabe 3:
>
> $ x = (a [mm] \wedge \overline{b} \wedge \overline{c}) \lor [/mm] (a [mm] \wedge \overline{b} \wedge [/mm] c) [mm] \lor [/mm] (a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \wedge \overline{c}) [/mm] $
>
> Zuerst klammere ich $ a $ aus:
>
> $ x = a [mm] \wedge ((\overline{b} \lor \overline{c})\wedge(\overline{b} \lor c)\wedge(b \lor \overline{c})) [/mm] $
>
> Dann klammere ich $ [mm] \overline{b} [/mm] $ aus:
>
> $ x = a [mm] \lor (((\overline{b} \lor (\overline{c} \wedge [/mm] c)) [mm] \wedge [/mm] (b [mm] \lor \overline{c}) [/mm] $
>
> $ [mm] \overline(c) \wedge [/mm] c $ ist immer NICHT WAHR. Mit
> $ [mm] \overline{b} [/mm] $ ODER-verknüft bleibt $ [mm] \overline{b} [/mm] $
>
> $ x = a [mm] \wedge (\overline{b} \wedge [/mm] (b [mm] \lor \overline{c})) [/mm] $
>
> Laut Lösung ist aber $ a [mm] \wedge (\overline{b} \lor \overline{c}) [/mm] $
> richtig.
$ = [mm] \overline{b} \wedge [/mm] (a [mm] \wedge \overline{c} \lor [/mm] a [mm] \wedge [/mm] c) [mm] \lor [/mm] a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \wedge \overline{c} [/mm] $
$ = [mm] \overline{b} \wedge [/mm] a [mm] \lor [/mm] a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \wedge \overline{c} [/mm] $
$ = a [mm] \wedge (\overline{b} \lor [/mm] b [mm] \wedge \overline{c}) [/mm] $
$ = a [mm] \wedge (\overline{b} \lor \overline{c}) [/mm] $
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