Vereinigung Mengen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Di 15.04.2014 | | Autor: | James90 |
Guten Abend, ich habe wieder eine Verständnisfrage. Wir haben definiert für [mm] (A_i)_{i\in\IN}
[/mm]
[mm] A_i\downarrow [/mm] A für [mm] i\to\infty, [/mm] falls [mm] A_{i+1}\subset [/mm] A für alle i und [mm] \bigcap_{i\in\IN}A_i=A. [/mm] (Analog [mm] A_i\uparrow [/mm] A).
Wie funktioniert das analog? Ich probiere es mal
[mm] A_i\uparrow [/mm] A für [mm] i\to\infty, [/mm] falls [mm] A\subset A_{i+1} [/mm] für alle i und [mm] \bigcup_{i\in\IN}A_i=A.
[/mm]
Für einen Beweis, den ich machen soll, steht der Tipp
[mm] A_i\uparrow A\Rightarrow [/mm] A ist gleich der disjunkten Vereinigung der Mengen [mm] A_i\setminus A_{i-1}.
[/mm]
Den Beweis habe ich hinbekommen mit dem Tipp, aber ich verstehe den Tipp nicht wirklich. Kann mir das bitte jemand erklären? Also ich verstehe nicht wie man auf diesen Tipp kommt. Der Rest ist mir klar.
Vielen Dank!
Grüsse, James.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Di 15.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
stell dir vor, dass du einen Luftballon (wir sind ja keine Glasbläser) aufpustest, der sich innerhalb einer Form befindet.
[mm] A_i [/mm] stellt das Volumen des Ballons nach dem i-ten Atemstoß dar, A das Volumen der Form.
[mm] A_i\subseteq A_{i+1} [/mm] bedeutet, dass keine Luft entweicht, sondern du mit jedem Puster bestenfalls mehr Luft in den Ballon hineinbekommst, bis er sich schließlich der äußeren Form beliebig annähert.
Die Mengen $ [mm] A_i\setminus A_{i-1} [/mm] $ stellen jeweils genau das Volumen dar, das mit dem i-ten Atemstoß dazukommt. A wird auf diese Weise gleich dem insgesamt hineingeblasenen Luftvolumen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Di 15.04.2014 | | Autor: | James90 |
Danke Dir Sax für die schnelle Antwort!
> Hi,
>
> stell dir vor, dass du einen Luftballon (wir sind ja keine
> Glasbläser) aufpustest, der sich innerhalb einer Form
> befindet.
>
> [mm]A_i[/mm] stellt das Volumen des Ballons nach dem i-ten Atemstoß
> dar, A das Volumen der Form.
>
> [mm]A_i\subseteq A_{i+1}[/mm] bedeutet, dass keine Luft entweicht,
> sondern du mit jedem Puster bestenfalls mehr Luft in den
> Ballon hineinbekommst, bis er sich schließlich der
> äußeren Form beliebig annähert.
d.h. [mm] A_{i+1}\subseteq A_i [/mm] bedeutet, dass beim Pusten Luft entweicht?
> Die Mengen [mm]A_i\setminus A_{i-1}[/mm] stellen jeweils genau das
> Volumen dar, das mit dem i-ten Atemstoß dazukommt. A wird
> auf diese Weise gleich dem insgesamt hineingeblasenen
> Luftvolumen.
d.h. [mm] A_i\setminus A_{i-1} [/mm] stellt das Volumen dar, das mit dem i-ten Atemstoß entweicht? Wieso nehmen wir dann hier den Durchschnitt?
Danke nochmal!
Grüsse, James.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Do 17.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Danke Dir Sax für die schnelle Antwort!
>
> > Hi,
> >
> > stell dir vor, dass du einen Luftballon (wir sind ja keine
> > Glasbläser) aufpustest, der sich innerhalb einer Form
> > befindet.
> >
> > [mm]A_i[/mm] stellt das Volumen des Ballons nach dem i-ten Atemstoß
> > dar, A das Volumen der Form.
> >
> > [mm]A_i\subseteq A_{i+1}[/mm] bedeutet, dass keine Luft entweicht,
> > sondern du mit jedem Puster bestenfalls mehr Luft in den
> > Ballon hineinbekommst, bis er sich schließlich der
> > äußeren Form beliebig annähert.
>
> d.h. [mm]A_{i+1}\subseteq A_i[/mm] bedeutet, dass beim Pusten Luft
> entweicht?
Ja, kann man so sehen, wenn man es sich mit dem obigen Beispiel
veranschaulicht. Man muss dabei nicht mehr pusten, sondern jedes Mal
etwas Luft aus dem Ballon herauslassen, oder das Volumen gleich lassen.
Die Form, die A darstellt, befindet sich dann nicht mehr aussen herum, in
die der Luftballon hineingeblasen wird, sondern im Inneren des [mm] $A_1$-Ballons, [/mm]
und mit dem Grenzprozess legt sich die Ballonhülle eng um diese Form und
nimmt sie an.
>
> > Die Mengen [mm]A_i\setminus A_{i-1}[/mm] stellen jeweils genau das
> > Volumen dar, das mit dem i-ten Atemstoß dazukommt. A wird
> > auf diese Weise gleich dem insgesamt hineingeblasenen
> > Luftvolumen.
>
> d.h. [mm]A_i\setminus A_{i-1}[/mm] stellt das Volumen dar, das mit
> dem i-ten Atemstoß entweicht? Wieso nehmen wir dann hier
> den Durchschnitt?
Die Mengenfolge [mm] $(A_i)_{i \in \IN}$ [/mm] ist mit der zusätzlichen Eigenschaft
[mm] $A_{i+1} \subseteq A_i$ [/mm] für alle $i [mm] \in \IN$ [/mm] definiert, bei [mm] $A_i \downarrow [/mm] A$.
Würde man nicht den Durchschnitt, sondern die Vereinigung der Mengen,
der so definierten Mengenfolge nehmen, wäre $A = [mm] A_1$.
[/mm]
(und die Definition damit nicht besonders nützlich)
>
> Danke nochmal!
>
> Grüsse, James.
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mi 16.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo, James,
> Guten Abend, ich habe wieder eine Verständnisfrage. Wir
> haben definiert für [mm](A_i)_{i\in\IN}[/mm]
>
> [mm]A_i\downarrow[/mm] A für [mm]i\to\infty,[/mm] falls
> [mm]A_{i+1}\subset[/mm] A für alle i und [mm]\bigcap_{i
> \in\IN}A_i=A.[/mm] (Analog [mm]A_i\uparrow[/mm]
> A).
Müsste das nicht
[mm]A_i\downarrow[/mm] A für [mm]i\to\infty,[/mm] falls [mm]A_{i}\supset[/mm] A
für alle i und [mm]\bigcap_{i\in\IN}A_i=A.[/mm]
heißen?
Oder [mm] $A_{i+1} \subset A_i$?
[/mm]
>
> Wie funktioniert das analog? Ich probiere es mal
>
> [mm]A_i\uparrow[/mm] A für [mm]i\to\infty,[/mm] falls [mm]A\subset A_{i+1}[/mm] für
> alle i und [mm]\bigcup_{i\in\IN}A_i=A.[/mm]
Soll das nicht
[mm]A_i\downarrow[/mm] A für [mm]i\to\infty,[/mm] falls [mm]A_{i}\supset [/mm] A für alle i und [mm]\bigcap_{i\in\IN}A_i=A.[/mm]
heißen?
Oder [mm] $A_i \subset A_{i+1}$?
[/mm]
>
> Für einen Beweis, den ich machen soll, steht der Tipp
>
> [mm]A_i\uparrow A\Rightarrow[/mm] A ist gleich der disjunkten
> Vereinigung der Mengen [mm]A_i\setminus A_{i-1}.[/mm]
>
> Den Beweis habe ich hinbekommen mit dem Tipp, aber ich
> verstehe den Tipp nicht wirklich. Kann mir das bitte jemand
> erklären? Also ich verstehe nicht wie man auf diesen Tipp
> kommt. Der Rest ist mir klar.
>
> Vielen Dank!
>
> Grüsse, James.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 16.04.2014 | | Autor: | James90 |
Hallo und danke für deinen Einwand. Vielleicht wäre es doch besser die komplette Aufgabe zu posten. Eigentlich kommt die Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ich hoffe, dass es nichts ausmacht.
z.z. Falls für eine Folge [mm] (A_i)_{i\in\IN} [/mm] von Ereignissen und ein Ereignis A gilt: [mm] A_i\downarrow [/mm] A oder [mm] A_i\uparrow [/mm] A, so gilt [mm] \lim_{i\to\infty}P(A_i)=P(A).
[/mm]
Notation: Wir schreiben [mm] A_i\downarrow [/mm] A für [mm] i\to\infty, [/mm] falls [mm] A_{i+1}\subset A_i [/mm] für jedes i und [mm] \bigcap_{i\in\IN}A_i=A. [/mm] Analog ist [mm] A_i\uparrow [/mm] A definiert.
Meine erste Frage zwischendurch: Wie ist [mm] A_i\uparrow [/mm] A definiert?
Mein Vorschlag: Wir schreiben [mm] A_i\uparrow [/mm] A für [mm] i\to\infty, [/mm] falls [mm] A_i\subset A_{i+1} [/mm] für jedes i und [mm] \bigcup_{i\in\IN}A_i=A. [/mm] Stimmt das?
Als Tipp steht am Ende noch: Falls [mm] A_i\uparrow [/mm] A, so ist A gleich der disjunkten Vereinigung der Mengen [mm] A_i\setminus A_{i-1}
[/mm]
Ich verstehe den TIPP leider nicht. Den Beweis durch den Tipp bekomme ich aber hin.
[mm] P(A)=P(\bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i\setminus A_{i-1}))=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i\setminus A_{i-1})=\lim_{n\to\infty}\summe_{i=1}^{n}P(A_i\setminus A_{i-1})=\lim_{n\to\infty}P(A_n).
[/mm]
Die andere Seite bekomme ich nicht hin, da ich die angegebene Notation beziehungsweise den Tipp nicht wirklich verstehe. Den Beweis habe ich im Grunde nur durch stures Einsetzen des Tipps gemacht + Kolomogorov'sche Axiom benutzt.
Es geht mir nur um diese Notation und den Tipp. Daher habe ich das auch hier gepostet. Ich hoffe, dass das in Ordnung ist.
Grüsse, James.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Do 17.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo James,
> Hallo und danke für deinen Einwand. Vielleicht wäre es
> doch besser die komplette Aufgabe zu posten. Eigentlich
> kommt die Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ich
> hoffe, dass es nichts ausmacht.
>
> z.z. Falls für eine Folge [mm](A_i)_{i\in\IN}[/mm] von Ereignissen
> und ein Ereignis A gilt: [mm]A_i\downarrow[/mm] A oder [mm]A_i\uparrow[/mm]
> A, so gilt [mm]\lim_{i\to\infty}P(A_i)=P(A).[/mm]
>
> Notation: Wir schreiben [mm]A_i\downarrow[/mm] A für [mm]i\to\infty,[/mm]
> falls [mm]A_{i+1}\subset A_i[/mm] für jedes i und
> [mm]\bigcap_{i\in\IN}A_i=A.[/mm] Analog ist [mm]A_i\uparrow[/mm] A
> definiert.
>
> Meine erste Frage zwischendurch: Wie ist [mm]A_i\uparrow[/mm] A
> definiert?
>
> Mein Vorschlag: Wir schreiben [mm]A_i\uparrow[/mm] A für
> [mm]i\to\infty,[/mm] falls [mm]A_i\subset A_{i+1}[/mm] für jedes i und
> [mm]\bigcup_{i\in\IN}A_i=A.[/mm] Stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Als Tipp steht am Ende noch: Falls [mm]A_i\uparrow[/mm] A, so ist A
> gleich der disjunkten Vereinigung der Mengen [mm]A_i\setminus A_{i-1}[/mm]
>
>
> Ich verstehe den TIPP leider nicht. Den Beweis durch den
> Tipp bekomme ich aber hin.
>
> [mm]P(A)=P(\bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i\setminus A_{i-1}))=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i\setminus A_{i-1})=\lim_{n\to\infty}\summe_{i=1}^{n}P(A_i\setminus A_{i-1})=\lim_{n\to\infty}P(A_n).[/mm]
>
> Die andere Seite bekomme ich nicht hin, da ich die
> angegebene Notation beziehungsweise den Tipp nicht wirklich
> verstehe. Den Beweis habe ich im Grunde nur durch stures
> Einsetzen des Tipps gemacht + Kolomogorov'sche Axiom
> benutzt.
Zeigen möchte man (wie oben von dir geschrieben):
[mm]\lim_{i\to\infty}P(A_i)=P(A).[/mm],
wenn [mm] $(A_i)_{i \in \IN}$ [/mm] die oben beschriebenen Bedingungen erfüllt.
Für [mm] $A_i \uparrow [/mm] A$, weis man [mm]\bigcup_{i\in\IN}A_i=A.[/mm].
Das sinnvolle an dem Tipp ist, man hat eine Darstellung von A als
Vereinigung disjunkter Mengen, die sich mit den Mengen von [mm] $(A_i)_{i \in \IN}$ [/mm] darstellen lassen.
Und nicht nur A, auch jedes [mm] $A_i$ [/mm] lässt sich als Vereinigung disjunkter
Mengen darstellen: [mm]\bigcup_{n = 1}^{i} ( A_n \setminus A_{n-1})= A_i[/mm].
Wenn man die Wahrscheinlichkeit P der Vereinigung disjunkter Ereignisse
(Mengen) berechnen will, darf man die Wahrschinlichkeit der einzelnen
Mengen addieren; was man in dem Beweis ausnützt.
>
> Es geht mir nur um diese Notation und den Tipp. Daher habe
> ich das auch hier gepostet. Ich hoffe, dass das in Ordnung
> ist.
>
> Grüsse, James.
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Do 17.04.2014 | | Autor: | James90 |
Danke euch meili und Sax!
Irgendwie hänge ich immer fest in den ersten Definitionen einer Vorlesung. Ich weiß einfach nicht woran das liegt, aber ich finde diese immer etwas unpräzise. Das ändert sich dann erst, wenn ich ein paar Kapitel gelesen habe. Hoffentlich auch hier.
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