Vereinigung / Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Balodil |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und [mm] U_1, U_2 [/mm] seien Untervektorräume von V. Zeige:
[mm] U_1 \cup U_2 [/mm] ist Untervektorraum von V [mm] \gdw U_1 \subset U_2 [/mm] oder [mm] U_2 \supset U_1 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schönen guten Abend!
Ich fange mit der Hinrichtung an:
D.h. ich weiß also das [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] ein Untervektorraum ist und die entsprechenden Axiome gelten:
(1) [mm] V\neq\emptyset [/mm] bzw. [mm] 0\in [/mm] V
(2) Für alle [mm] x,y\in [/mm] V ist die Summe [mm] x+y\in [/mm] V
(3) Für alle [mm] \lambda\in [/mm] K, [mm] x\in [/mm] V ist auch [mm] \lambda\cdot{}x\in [/mm] V
Nur wie wende ich das jetzt an? Wie kann ich den Beweis beginnen?
ZUr RÜckrichtung:
DIe VOrraussetzung ist nun [mm] U_1 \subset U_2
[/mm]
Nun muss irgendwie gezeigt werden das die Vereinigung ein Vektorraum ist. In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass wenn U,V UVR sind ist deren Durchscnitt bzw. Summe wieder ein UVR. Aber das kann ich hier ja auch nicht anwenden ... Wir fängt man hier am besten an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Mo 14.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei V ein K-Vektorraum und [mm]U_1, U_2[/mm] seien Untervektorräume
> von V. Zeige:
>
> [mm]U_1 \cup U_2[/mm] ist Untervektorraum von V [mm]\gdw U_1 \subset U_2[/mm]
> oder [mm]U_2 \supset U_1[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum
> auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Schönen guten Abend!
>
> Ich fange mit der Hinrichtung an:
> D.h. ich weiß also das [mm]U_1 \cup U_2[/mm] ein Untervektorraum
> ist und die entsprechenden Axiome gelten:
>
> (1) [mm]V\neq\emptyset[/mm] bzw. [mm]0\in[/mm] V
>
> (2) Für alle [mm]x,y\in[/mm] V ist die Summe [mm]x+y\in[/mm] V
>
> (3) Für alle [mm]\lambda\in[/mm] K, [mm]x\in[/mm] V ist auch
> [mm]\lambda\cdot{}x\in[/mm] V
warum schreibst du hier V und nicht [mm] $U_1 \cup U_2$? [/mm] das fürt dich nur in die irre und [mm] x,y\in U_1 \cup U_2
[/mm]
dann wähl mal besser u1 und u2 aus U1 und U2 wann gehört dann u1+u2 auch zu [mm] U_1 \cup U_2?
[/mm]
>
> Nur wie wende ich das jetzt an? Wie kann ich den Beweis
> beginnen?
>
> ZUr RÜckrichtung:
> DIe VOrraussetzung ist nun [mm]U_1 \subset U_2[/mm]
> Nun muss
> irgendwie gezeigt werden das die Vereinigung ein Vektorraum
> ist. In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass wenn U,V UVR
> sind ist deren Durchscnitt bzw. Summe wieder ein UVR. Aber
> das kann ich hier ja auch nicht anwenden ... Wir fängt man
was ist denn [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] wenn [mm] $U_1 \subset U_2$ [/mm] und wenn [mm] $U_2 \subset U_1$
[/mm]
ist?
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Balodil |
> warum schreibst du hier V und nicht [mm]U_1 \cup U_2[/mm]? das fürt
> dich nur in die irre und [mm]x,y\in U_1 \cup U_2[/mm]
> dann wähl
> mal besser u1 und u2 aus U1 und U2 wann gehört dann u1+u2
> auch zu [mm]U_1 \cup U_2?[/mm]
> >
Sei also [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] aus [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] => [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2 \in U_1 \cap U_2
[/mm]
daraus folgt [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] aus [mm] U_1 [/mm] oder [mm] U_2 [/mm] => [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2 \in U_1 \cup U_2
[/mm]
=> [mm] U_1 [/mm] muss in [mm] U_2 [/mm] liegen oder [mm] U_2 [/mm] in [mm] U_1
[/mm]
so etwa???
> >
> > ZUr RÜckrichtung:
> > DIe VOrraussetzung ist nun [mm]U_1 \subset U_2[/mm]
> > Nun muss
> > irgendwie gezeigt werden das die Vereinigung ein Vektorraum
> > ist. In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass wenn U,V UVR
> > sind ist deren Durchscnitt bzw. Summe wieder ein UVR. Aber
> > das kann ich hier ja auch nicht anwenden ... Wir fängt man
>
> was ist denn [mm]U_1 \cup U_2[/mm] wenn [mm]U_1 \subset U_2[/mm] und wenn [mm]U_2 \subset U_1[/mm]
>
> ist?
Dann ist [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] = [mm] U_1 [/mm] = [mm] U_2 [/mm] und damit wäre die Rückrichtung beweisen, aber hier steht ja "oder" ... [mm] U_1 \subset U_2 [/mm] oder [mm] U_2 \subset U_1 [/mm] ???
> Gruss leduart.
>
vielen Dank :)
lg Balodil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mo 14.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
wenn u1 in U! und u2 in U2 warum soll dann u1+u2 in [mm] U1\cup [/mm] U2 liegen?
Bsp . U1=span{(1,0)} U2=span{(0,1) } liegt (1,1) in [mm] U1\cup [/mm] U2?
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Balodil |
> hallo
> wenn u1 in U! und u2 in U2 warum soll dann u1+u2 in [mm]U1\cup[/mm]
> U2 liegen?
> Bsp . U1=span{(1,0)} U2=span{(0,1) } liegt (1,1) in
> [mm]U1\cup[/mm] U2?
> Gruss leduart
>
Ne (1,1) liegt nicht in [mm] U_1 \cup U_2
[/mm]
Also müsste [mm] U_1 \subset U_2 [/mm] oder [mm] U_2 [/mm] subset [mm] U_1 [/mm] sein, ansonsten stimmt die 2. Vorrausetzung für einen Untervektorraum nicht.
soll man so vorgehen?
lg Balodil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Di 15.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum fragst du? überzeugt es dich nicht? du musst nur noch genauer formulieren.
gruss leduart
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