Vereinigung von Abschlüssen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:59 So 14.04.2013 | | Autor: | Michi1987 |
| Aufgabe | Hallo,
ich soll folgende Aufgabe lösen:
Sei (X, [mm] \tau) [/mm] ein topologischer Raum. Zeige, dass für die Teilmengen A,B [mm] \subseteq [/mm] X die folgende Eigenschaft bezüglich des Abschlusses gilt:
[mm] \overline{A\cup B} [/mm] = [mm] \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] |
Mein Ansatz wäre folgender:
(1) [mm] \overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A\cup B}
[/mm]
Wegen A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq \overline{A \cup B} [/mm] und [mm] \overline{A\cup B} [/mm] abgeschlossen, gilt [mm] \overline{A} \subseteq \overline{A \cup B}. [/mm]
Wegen B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq \overline{A \cup B} [/mm] und [mm] \overline{A \cup B} [/mm] abgeschlossen, gilt [mm] \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overline{A}\cup\overline{B}\subseteq\overline{A\cup B}
[/mm]
(2) Sei [mm] x\in \overline{A\cup B}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\in A\cup B\lor x\in \overline{A\cup B}\setminus A\cup [/mm] B
Fall 1:
[mm] x\in A\cup [/mm] B [mm] \Rightarrow x\in [/mm] A [mm] \lor x\in [/mm] B [mm] \Rightarrow x\in \overline{A} \lor x\in \overline{B} \Rightarrow x\in \overline{A}\cup\overline{B}
[/mm]
Fall 2:
[mm] x\in \overline{A\cup B}\setminus A\cup [/mm] B
[mm] \Rightarrow x\in \overline{A\cup B} \land x\not\in A\cup [/mm] B
[mm] \Rightarrow x\in \overline{A}\setminus [/mm] A [mm] \lor x\in\overline{B}\setminus [/mm] B
[mm] \Rightarrow x\in\overline{A}\lor x\in\overline{B}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\in \overline{A} \cup \overline{B}
[/mm]
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1780634#post1780634]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 So 14.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Michi1987 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Da die Frage im anderen Forum schon beantwortet wurde, markiere ich sie hier als erledigt. Wenn du doch noch irgendetwas wissen möchtest, stelle einfach eine entsprechende neue Frage in diesem Thread!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 So 14.04.2013 | | Autor: | Michi1987 |
Hallo,
der Vollständigkeit halber:
Okay, so i think i have the solution:
I know that
A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq \overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A\cup B}
[/mm]
i also know that [mm] \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] is a closed set because it is an union of closed sets.
But [mm] \overline{A\cup B} [/mm] should be the smallest closed set which includes [mm] A\cup [/mm] B so [mm] \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] = [mm] \overline{A\cup B}
[/mm]
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