Vereinigung von Unterräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Mo 29.01.2007 | | Autor: | darwin |
| Aufgabe | Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über Körper K, wobei k unendlich viele Elemente enthalte. Man zeige:
Ist V = [mm] V_1 \cup V_2 \cup [/mm] ... [mm] \cup V_r [/mm] endliche Vereinigung von Unterräumen [mm] V_1, V_2, [/mm] ..., [mm] V_r, [/mm] so gibt es ein j [mm] \in \{ 1,2,...,r\} [/mm] mit [mm] V_j [/mm] =V. |
Hallo Zusammen.
Warum ist das so, kann mir das jemand erklären?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Mo 29.01.2007 | | Autor: | kretschmer |
Hallo,
Vereinigung oder Schnitt? Du benutzt das Symbol [mm] $\cap$ [/mm] für Schnitt und schreibst Vereinigung ...
Mal davon abgesehen, was heißt dann genau die Vereinigung/Schnitt von zwei Vektorräumen? Denn eigentlich bin ich mir ziemlich sicher, Dir ruckzuck Gegenbeispiele aufschreiben zu können. Steht in der Aufgabe vielleicht noch etwas anderes?
Gruß
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Mo 29.01.2007 | | Autor: | darwin |
Sorry, ich meine die Vereinigung. den Rest hab ich nochmal überprüft und es ist so, wie es geschrieben ist. Du meinst also , dass ich die Behauptung nur widerlegen kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mo 29.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
die Behauptung ist natürlich richtig. Oft sagt man auch, dass ein Vektorraum über einem unendlichen Körper nicht (mengentheoretische!) Vereinigung endlich vieler echter Unterräume ist. Über einem endlichen Körper wird das falsch, wie das Beispiel
$$
[mm] \IF_2^2=\IF_2(1,0)\cup\IF_2(0,1)\cup\IF_2(1,1)
[/mm]
$$
zeigt. Das hängt eng mit der Tatsache zusammen, dass über einem unendlichen Körper jedes Polynom in n Variablen, das auf allen Elementen von $k$ verschwindet, das Nullpolynom ist, d.h. Polynome sind durch die zugeordneten Funktionen eindeutig bestimmt. Die zu beweisende Aussage kannst Du darauf zurückführen, indem Du unter der Annahme [mm] V_i\neq [/mm] V für alle i die [mm] V_i [/mm] als Schnitte von Kernne nicht-trivialer linearer Funktionale schreibst und so ein von Null verschiedenes Polynom konstruierst, dass auf allen Elementen von V verschwindet. Widerspruch!
Falls Du die Aussage überPolynome nicht hast, versuche es mit Induktionüber die Dimension von V. Der Fall [mm] V=\{0\} [/mm] bzw. k ist klar.
Im Fall [mm] k=\IR [/mm] kannst Du übrigens auch den Satz von Baire aus Funktionalanalysis benutzen. Angewendet wird diese Aussage immer um die Existenz von Vektoren zu zeigen, die nicht in einer vorgegebenen endlichen Mengevon Hyper ebenen liegen dürfen.
Volker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Mo 29.01.2007 | | Autor: | kretschmer |
Ohja, danke, jetzt fällt es mir auch wieder ein. Ich frage mich manchmal wo mein Gedächtnis geblieben ist. So wurde mir, obwohl ich helfen wollte, selber geholfen. Praktisch ist das 
|
|
|
|
