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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Di 03.01.2006 | | Autor: | HOST |
Halli hallo,
ich stehe vor einem Problem und bin mir über meine Lösung nicht ganz einig.
Ich habe explizit drei Mengen bspw. A, B, T gegeben, wobei zwei Mengen (A,B) beliebig sind und die dritte Menge (T) eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist.
Zwischen diesen Mengen sind zwei dreistellige Relationen der Form:
[mm] R_1:=\{(a,b,t) \mid a \in A, b \in B, t \in T\} [/mm] und
[mm] R_2:=\{(a,b,t) \mid a \in A, b \in B, t \in T\} [/mm] gegeben.
Die Projektion der Relation [mm] R_2 [/mm] bezüglich der Mengen A und B ist eine Teilmenge der Projektion der Relation [mm] R_1 [/mm] bezüglich der Mengen A und B.
D.h. jedes geordnete Paar [mm] (a_i, b_j) \in \Pi_{A,B} R_2 [/mm] ist in [mm] \Pi_{A,B} R_1 [/mm] enthalten.
Jetzt die Vergleichsaufgabe.
Bestimmen Sie alle Paare [mm] (a_i, b_j) [/mm] die in beiden Relationen enthalten sind und für die gilt:
Das in der Relation [mm] R_1 [/mm] definierte [mm] t_1 [/mm] ist kleiner als das zugehörige [mm] t_2 [/mm] in der Relation [mm] R_2.
[/mm]
Dito für [mm] t_1 [/mm] = [mm] t_2 [/mm] und [mm] t_1 [/mm] > [mm] t_2.
[/mm]
Habt vielen Dank und viele Grüße
Host
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Hallo,
also so wie Du [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] notierst, gilt (weil die definierenden rechten Seiten
der Mengengleichungen identisch sind) [mm] R_1=R_2.
[/mm]
Vermutlich ist dies aber in der Deiner Anfrage zugrundeliegenden Aufgabenstellung anders, oder ?
Interessant waere auch zu wissen, was in diesem Kontext ''Bestimmen Sie'' heisst ?
Heisst es, dass Du [mm] R_1,R_2\subseteq A\times B\times [/mm] T gegeben hast (mit [mm] R_1\neq R_2)
[/mm]
und die jeweiligen Mengen der (a,b) mengentheoretisch bestimmen sollst ?
Heisst es, dass die Aufgabe lautet, fuer generische [mm] R_1, R_2 [/mm] ein -moeglicherweise algorithmisches ? - Verfahren anzugeben, das die Mengen konstruiert ?
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 08.01.2006 | | Autor: | HOST |
Hallo Mathiash,
zunächst einmal geht es tatsächlich um die Frage, wie ich mengentheoretisch "bestimme" wie diese Mengen zu konstruieren sind, die generisch gegeben sind und nur den angegebenen Bedingungen genügen müssen.
Es gilt also mit Hilfe einer Berechnungsvorschrift für konstruierte Beispiele die Ergebnisse anzugeben. D.h. wenn ich Instanzen der drei Grundmengen und darauf defininierten Relationen gegeben habe, möchte ich mit Hilfe der Berechnungsvorschrift die Ergebnisse ausweisen.
Vielen Dank und viele Grüße
Host
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Hallo,
also so ganz verstehe ich die Problemstellung nicht, aber muss wohl auch nicht sein.
Jedenfalls sollte die Aufgabenstellung eher so lauten:
Gegeben [mm] R_1,R_2\subseteq A\times B\times [/mm] T mit [mm] \Pi_{A,B}R_2\subseteq\Pi_{A,B}R_1,
[/mm]
bestimme alle Paare [mm] (a,b)\in A\times [/mm] B, fuer die es
(a) [mm] t_1 [/mm] < [mm] t_2 (t_1,t_2\in [/mm] T)
(b) [mm] t_1=t_2 [/mm] ...
(c) [mm] t_1 [/mm] > [mm] t_2 (t_1,t_2\in [/mm] T) gibt mit
[mm] (a,b,t_i)\in R_i [/mm] (i=1,2). Denn diese t's muessen, da Du an die [mm] R_i [/mm] keine Einschraenkung
machst, nicht eindeutig bestimmt sein.
Die mengentheoretische Definition der gesuchten Teilmengen von [mm] A\times [/mm] B steht dann aber doch schon in der Aufgabenstellung selbst, in natuerlicher Sprache natuerlich.
Formelschreibweise fuer die Menge in (a):
[mm] \{(a,b)\in A\times B|\exists t_1,t_2\in T\:\:[ t_1
Analog fuer die anderen.
Algorithmisch konstruieren kann man - wenn die Mengen A,B,T endlich sind und T lin. geordnet und alles geeignet repraesentiert ist - auf einfache Weise so:
Zu gegebenem [mm] (a,b)\in A\times [/mm] B durchläuft man die Menge T in aufsteigender
Reihenfolge . Sobald man auf ein t stoesst mit [mm] (a,b,t)\in R_1, [/mm] sucht man
in einer Unterschleife nach t'>t mit [mm] (a,b,t')\in R_2. [/mm] Findet man soches, gibt man
(a,b) aus.
Dies macht man einfach nacheinander fuer alle [mm] (a,b)\in A\times [/mm] B, um also als Ausgabe
die gewuenschte Menge in Form einer Liste zu erhalten.
Speziellere Techniken finden evtl. dann Anwendung, wenn mehr ueber [mm] R_1,R_2 [/mm] bekannt ist.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Di 10.01.2006 | | Autor: | HOST |
Hallo Mathias,
vielen Dank für die Antwort, ich werde sie mir durch den Kopf gehen lassen. Ich denke aber ich komme damit weiter.
Also nochmals danke
Stephan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Sa 14.01.2006 | | Autor: | HOST |
Hallo Mathias,
ich habe mir Deine Antwort angesehen, komme jedoch mit der Schreibweise nicht ganz klar. Ist die folgende Schreibweise äquivalent dazu ?
[mm] \bigvee \limits_{a \in A} \bigvee \limits_{b \in B} \bigwedge \limits_{t_1. t_2 \in T} \{(a,b,t_1) \in R_1 \wedge (a,b,t_2) \in R_2 \wedge (t_1
Wenn ja, reicht es dann eigentlich bspw. [mm] \bigvee \limits_{a \in A} [/mm] zu definieren oder muß es [mm] \bigvee \limits_{a_i \in A} [/mm] sein.
Ich konnte hierzu keine für mich geeignete Literatur finden. Gibt es für solche [mm] \glqq Rechenaufgabe\grqq [/mm] eine gute Referenz?
Viele Grüße und ein schönes Wochenende
Host
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Hallo,
also Deine Schreibweise ist leider etwas seltsam, und mir ist
nicht ganz klar, was fuer ein problem Du tatsaechlich loesen musst.
Was Du geschrieben hast mit Deiner Alternativnotation der Quantoren mit dem, ueber
was quantifiziert wird, unter dem jeweiligen Quantor (was an sich voellig in Ordnung ist),
heisst, wenn man die mengentheoretischen Klammern [mm] \{ ...\} [/mm] mal einfach als logische
Klammern interpretiert, die Aussage
'' es gibt [mm] a\in [/mm] A und [mm] b\in [/mm] B so, dass fuer alle [mm] t_1\in [/mm] T, [mm] t_2\in [/mm] T gilt:
[mm] (a,b,t_1)\in r_1 [/mm] und [mm] (a,b,t_2)\in r_2 [/mm] und [mm] t_1 [/mm] < [mm] t_2''
[/mm]
Aber das ist eine Aussage und keine Mengenspezifikation.
Nochmal: Meiner meinung nahc hattest Du die Mengenspezifikation mehr oder minder
schon in Deiner Frage formuliert, allerdings natuerlich-sprachlich, und man kann es
dann auch in Formelschreibweise machen (siehe meine Antwort).
Vielleicht waere es bei weiteren Unklarheiten wirklich hilfreich, wenn Du nochmal genauer schreiben koenntest, in welchem Kontext Du dieses problem loesen moechtest.
Entschuldige, dass ich so spaet antworte, ich habe die Frage jetzt erst gesehen.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Di 17.01.2006 | | Autor: | HOST |
Hallo Mathias,
zunächst einmal ist eine Entschuldigung nicht notwendig.
Der Kontext in dem ich mein Problem lösne möchte läßt sich folgendermassen beschreiben:
Ich habe ein Modell, welches durch Mengen und Relationen zwischen diesen Mengen definiert ist. D.h. ich habe drei Mengen A, B und T, die explizit durch ihre Elemente beschrieben sind. Somit sind es endliche Mengen. Die Menge T, die echte Teilmenge der natürlichen Zahlen ist hat alle Eigenschaften dieser Menge und ist endlich.
Die Relationen [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] sind Relationen zwischen A und B und T. D.h. auch sie werden durch endlich viele 3-Tupel beschrieben.
Hierbei gilt, dass die Projektion auf A und B von [mm] R_2 [/mm] Teilmenge von [mm] R_1 [/mm] ist. Dies ist die Grundlage für alles weitere.
Praxis: Ich will ein Programm schreiben, welches mir die Pflege dieses mathematischen Modells ermöglicht.
Wenn ich nun dieses Modell habe, will ich verschiedenes damit anstellen.
Ich will z.B. die beiden Relationen miteinander vergleichen. D.H. ich möchte einen paarweisen Vergleich der Elemente der beiden Relationen durchführen.
Beispiel: Ich möchte herausfinden, wenn ich ein Tripel [mm] (a_1,b_1,t_1) \in R_1 [/mm] habe und [mm] (a_1,b_1,t_2) \in R_2 [/mm] habe und [mm] t_1 [/mm] > [mm] t_2, [/mm] dann möchte ich das 2-Tupel [mm] (a_1,b_1) [/mm] in die Relation [mm] R_3 [/mm] eintragen.
Diesen Fall möchte ich Hilfe meiner Notation darstellen. Da es für einige Aussagen Operationen der matrizenrechnung auf Boolschen Matrizen gibt, ist das der dritte Schritt, also zu versuchen diese Fälle mit Hilfe solcher Operationen zu berechnen.
Ich hoffe Du kannst mit dieser halbprosaischen Beschreibung etwas anfangen.
Gruß und besten Dank
Stephan
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Hallo Stephan,
also ich bin leider etwas ratlos, was ich jetzt noch schreiben kann. In meiner zweiten Antwort im Strang hatte ich doch eigentlich schon eine Formel als Bedingung fuer
[mm] (a,b)\in R_3 [/mm] geschrieben,
und Du kannst natuerlich schreiben
[mm] \forall (a,b)\in A\times [/mm] B [mm] \:\: (\: (a,b)\in R_3\:\leftrightarrow\:\ldots)
(fuer die Punkte das einsetzen, was ich geschrieben habe).
\forall kannst Du dann auch durch Dein \bigwedge ersetzen, und \exists durch \bigvee,
aber das sollte doch funktionieren, oder.
Ich schau ansonsten Anfang der Woche wieder ins Forum,
druecke Dir aber die Daumen, dass Du mit Deinem Problem weiterkommst.
Jedenfalls ein schoenes Wochenende,
Gruss,
Mathias
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Fr 20.01.2006 | | Autor: | HOST |
Hallo Mathias,
danke für Deine Antwort. Hier mein hoffentlich letzter Versuch.
Ich bin über die inhaltlichen Probleme soweit im Bilde, nur das formal richtige Aufschreiben fällt mir noch etwas schwer.
Von daher hier mein Versuch es formal richtig aufzuschreiben.
[mm] \bigvee\limits_{a, b \in A \times B}\bigwedge\limits_{t_1, t_2 \in T}\{[(b, a, t_1)\in R_{1}] \wedge
[(b,a, t_2) \in R_{2}]
\wedge [(t_1 < t_2)]\} [/mm]
[mm] \nonumber \\
[/mm]
: [mm] \Rightarrow [/mm] (b, a) [mm] \in R_{3} [/mm]
Falls das jetzt mit Deiner Lösung übereinstimmt und formal richtig aufgeschrieben ist, bin ich zufrieden.
Auch Dir ein tolles Wochenende.
Gruß Stephan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Mo 23.01.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo!
Also wenn ich mir da die Zeittafel so anssehe, dann hat dein Diskussionszweig schon lange überlebt, deshalb verlängere ich die von dir vorgegebene Zeit, in der Hoffnung, dass dir doch noch jemand antwortet. 
Liebe Grüße
PStefan
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Guten Morgen Stephan,
also wenn Du in Deiner Formel das [mm] \bigvee [/mm] mit dem [mm] \bigwedge [/mm] vertauscht, aber das, was
darunter steht, nicht, so sollte es stimmen.
[mm] \bigvee [/mm] ist der Existenzquantor , [mm] \bigwedge [/mm] der Allquantor, und die
Klammerung sollte so sein:
[mm] \bigwedge_{a\in A,b\in B} ((\bigvee_{t_1,t_2\ldots} \ldots)\:\Rightarrow (a,b)\in R_3)
[/mm]
Viele Gruesse,
Mathias
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