Vergleichskriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:59 Do 30.04.2015 | | Autor: | RichardEb |
Ich habe heute folgendes Vergleichskriterium gesehen und überlege ob da nicht ein Fehler in der Rechnung ist. Was meint ihr?
Hier die Rechnung:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^n +1}
[/mm]
Bekannte Reihe: [mm] \summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2})^n [/mm] = Geometrische Reihe => Konvergent
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^n +1}< \summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2})^n [/mm] => konvergent.
Aber:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2})^n [/mm] ist meiner Meinung nach keine geometrische Reihe. Müsste n nicht dafür bei 0 statt bei 1 loslaufen?
Hier wäre es doch vielmehr
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2} (\bruch{1}{2})^{n-1}
[/mm]
also
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^n +1} [/mm] < [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2} (\bruch{1}{2})^{n-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Do 30.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe heute folgendes Vergleichskriterium gesehen und
> überlege ob da nicht ein Fehler in der Rechnung ist. Was
> meint ihr?
>
> Hier die Rechnung:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^n +1}[/mm]
Du meinst
[mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{2^n +1}[/mm]
Unten hast Du den Schreibfehler noch mehrfach !
>
> Bekannte Reihe: [mm]\summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2})^n[/mm] =
> Geometrische Reihe => Konvergent
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^n +1}< \summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2})^n[/mm]
> => konvergent.
>
> Aber:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2})^n[/mm] ist meiner Meinung nach
> keine geometrische Reihe. Müsste n nicht dafür bei 0
> statt bei 1 loslaufen?
>
> Hier wäre es doch vielmehr
>
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2})^{n-1}[/mm]
>
> also
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^n +1}[/mm] < [mm]\summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2})^(n-1)[/mm]
>
Es geht also um die Konvergenz von
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n +1} [/mm] $
Es ist
(*) 0 [mm] \le \bruch{1}{2^n +1}< \bruch{1}{2^n } [/mm] für alle n
und
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n } [/mm] $ ist konvergent.
Ob Du nun die Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n } [/mm] $ eine geometrische Reihe oder eine Fredsche Reihe oder eine Richard-Reihe nennst, ist völlig schnuppe. Sie konvergiert. Wegen (*) und dem Majorantenkriterium ist dann auch
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n +1} [/mm] $
konvergent.
FRED
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>
> Unten hast Du den Schreibfehler noch mehrfach !
Stimmt
>
> Es geht also um die Konvergenz von
>
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n +1}[/mm]
jap
>
> Es ist
>
> (*) 0 [mm]\le \bruch{1}{2^n +1}< \bruch{1}{2^n }[/mm] für alle
> n
>
> und
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n }[/mm] ist konvergent.
>
> Ob Du nun die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n }[/mm]
> eine geometrische Reihe oder eine Fredsche Reihe oder eine
> Richard-Reihe nennst, ist völlig schnuppe.
Nein. Eine Geometrische-Reihe ist definiert. https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Wir haben nur eine bestimmte Auswahl an Reihen von denen wir annehmen dürfen, dass sie konvergent sind. Fred und Richard-Reihen gehören da nicht zu.
Daher nochmal die Frage: Ist $ [mm] \summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2})^n [/mm] $ eine geometrische Reihe? Ja oder nein?
Falls nein, kann ich sie in diesem Fall nicht nutzen, da ich ihr Konvergenzverhalten nicht kenne.
Also müsste ich doch viel eher $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2} (\bruch{1}{2})^{n-1} [/mm] $ nutzen oder?
(Achtung da war auch ein Schreibfehler, hab das 1/2 vergessen)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Do 30.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Unten hast Du den Schreibfehler noch mehrfach !
> Stimmt
>
>
>
> >
> > Es geht also um die Konvergenz von
> >
> >
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n +1}[/mm]
>
> jap
>
>
> >
> > Es ist
> >
> > (*) 0 [mm]\le \bruch{1}{2^n +1}< \bruch{1}{2^n }[/mm] für alle
> > n
> >
> > und
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n }[/mm] ist konvergent.
> >
> > Ob Du nun die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n }[/mm]
> > eine geometrische Reihe oder eine Fredsche Reihe oder eine
> > Richard-Reihe nennst, ist völlig schnuppe.
>
> Nein. Eine Geometrische-Reihe ist definiert.
> https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
>
> Wir haben nur eine bestimmte Auswahl an Reihen von denen
> wir annehmen dürfen, dass sie konvergent sind. Fred und
> Richard-Reihen gehören da nicht zu.
>
> Daher nochmal die Frage: Ist [mm]\summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2})^n[/mm]
> eine geometrische Reihe? Ja oder nein?
>
> Falls nein, kann ich sie in diesem Fall nicht nutzen, da
> ich ihr Konvergenzverhalten nicht kenne.
Doch kennst Du: $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n }= \bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n }$
[/mm]
FRED
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> Also müsste ich doch viel eher [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2} (\bruch{1}{2})^{n-1}[/mm]
> nutzen oder?
>
> (Achtung da war auch ein Schreibfehler, hab das 1/2
> vergessen)
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