Verh. von f im Grenzbereich < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{|2x-1|}{(4x^{2}-1)\cdot|x|} [/mm] |
So ich soll diese Funktion anden Rändern des Definitionsbereiches untersuchen.
Der Definitionsbereich soweit ich das sagen kann ist [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0,\bruch{1}{2}\}
[/mm]
Also muss ich jetzt die Fälle [mm] -\infty, +\infty, 0_{+}, 0_{-} [/mm] sowie [mm] \bruch{1}{2}_{+}, \bruch{1}{2}_{-} [/mm] betrachten
Eine potentielle Nullstelle läge bei [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] die Funktion ist an dieser Stelle aber nicht definiert, daher gibt es keine Nullstellen
Soweit korrekt?
Wenn ja, wie gehe ich dann bei der Betrachtung der einzelnen Fälle am besten vor.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Di 12.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ganzir!
Soweit stimmen Deine Überlegungen. Ich würde nun eine Fallunterscheidung vornehmen und die Funktion betragsfrei darstellen (durch Anwendung der Betragsdefinition).
Damit kannst Du dann entsprechend kürzen und vereinfachen, um die genannten Grenzwerte zu ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Ich würde nun eine Fallunterscheidung vornehmen |
Also:
für x > [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
[mm] \bruch{2x-1}{(4x^{2}-1)\cdot x}
[/mm]
für 0 < x < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{-1\cdot(2x-1)}{(4x^{2}-1)\cdot x} [/mm] = [mm] \bruch{-2x+1}{(4x^{2}-1)\cdot x}
[/mm]
für x < 0
[mm] \bruch{-2x+1}{(4x^{2}-1)\cdot -x}
[/mm]
So richtig?
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Hallo ganzir,
> Ich würde nun eine Fallunterscheidung vornehmen
> Also:
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> für x > [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x-1}{(4x^{2}-1)\cdot x}[/mm]
>
> für 0 < x < [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-1\cdot(2x-1)}{(4x^{2}-1)\cdot x}[/mm] =
> [mm]\bruch{-2x+1}{(4x^{2}-1)\cdot x}[/mm]
>
> für x < 0 [mm] \red{\text{und} \ x\neq -\frac{1}{2}}
[/mm]
>
> [mm]\bruch{-2x+1}{(4x^{2}-1)\cdot -x}[/mm]
>
> So richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, ganz genau, vergiss aber nicht die Polstelle [mm] $x=-\frac{1}{2}$ [/mm] !
Nun schaue dir jeweils die links- und rechtsseitigen Limites an den Stellen [mm] $x_0=0,\pm\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)$ [/mm] an ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:11 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Nun schaue dir jeweils die links- und rechtsseitigen Limites an den Stellen $ [mm] x_0=0,\pm\frac{1}{2} [/mm] $ und $ [mm] \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x) [/mm] $ an ... |
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2x-1}{(4x^{2}-1)\cdot x} [/mm] = 0
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-2x+1}{(4x^{2}-1)\cdot -x} [/mm] $ = 0
$ [mm] \limes_{x\rightarrow0_{+}}\bruch{-2x+1}{(4x^{2}-1)\cdot x} [/mm] $ = [mm] \infty
[/mm]
$ [mm] \limes_{x\rightarrow0_{-}}\bruch{-2x+1}{(4x^{2}-1)\cdot -x} [/mm] $ = [mm] \bruch{-2x+1}{-4x^{3}+x} [/mm] wie kann ich hier sagen was mit dem Nenner passiert? Da steht ja jetzt etwas kleines Negatives multiplizert mit -4 wird positiv + etwas negatives wie weiß ich denn ob das nun positiv oder negativ ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Di 12.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ganzir!
Bevor es ans Weiterrechnen geht, nun im Nenner eine binomische Formel anwenden und anschließend kürzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Bevor es ans Weiterrechnen geht, nun im Nenner eine binomische Formel anwenden und anschließend kürzen. |
$ [mm] \bruch{2x-1}{(4x^{2}-1)\cdot x} [/mm] $
= $ [mm] \bruch{2x-1}{(2x+1)(2x-1)\cdot x} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{2x^2+x}
[/mm]
so?
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Hallo ganzir,
> Bevor es ans Weiterrechnen geht, nun im Nenner eine
> binomische Formel anwenden und anschließend kürzen.
> [mm]\bruch{2x-1}{(4x^{2}-1)\cdot x}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2x-1}{(2x+1)(2x-1)\cdot x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2x^2+x}[/mm]
>
> so?
Ja, für [mm] $x>\frac{1}{2}$ [/mm] stimmt das ...
LG
schachuzipus
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