Verhalten an Definitionslücken < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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[mm] \bruch{4x^4-x}{2x^2-2x-4}
[/mm]
Defnitionslücen ind : X=2 und x=-1
So davon kann ich dienäherungs bestimmen also die grenzwerte von links und von rechts an Beispiel möchte ich mal eines anführen:
annäherung von links (xl=-1)
z(-1)=5 Also -1 in den zähler eingestzt
n(-1)=0
n(-2)=8 also einen wert eingestzt der links von der lücke liegt in den nenner
Typ [mm] :\bruch{5}{+0}=+\infty
[/mm]
also linkslimes--> -1 [mm] f(x)=+\infty
[/mm]
So jetzt habe ich folgende Frage wie geht soetwas mit Paranetern ich hab leider keine Aufgabe vorhanden womit ich es versuchen könnte könnte mir einer eine aufgabe stellen oder mir den Weg erklären ich ich soetwas mit parametern mache?? Mir ich denke da muss ich diverse Fallunterscheide machen .
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> [mm]\bruch{4x^4-x}{2x^2-2x-4}[/mm]
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> Defnitionslücen ind : X=2 und x=-1
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> So davon kann ich dienäherungs bestimmen also die
> grenzwerte von links und von rechts an Beispiel möchte ich
> mal eines anführen:
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> annäherung von links (xl=-1)
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> z(-1)=5 Also -1 in den zähler eingestzt
Das ist keine Annäherung!
Annähern von links heißt: x<-1. Ein Weg ist z.B. x=-1-h, h>0, einzusetzen und dann den Grenzwert für h->0 zu betrachten.
> n(-1)=0
> n(-2)=8 also einen wert eingestzt der links von der
> lücke liegt in den nenner
> Typ [mm]:\bruch{5}{+0}=+\infty[/mm]
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> also linkslimes--> -1 [mm]f(x)=+\infty[/mm]
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> So jetzt habe ich folgende Frage wie geht soetwas mit
> Paranetern ich hab leider keine Aufgabe vorhanden womit ich
> es versuchen könnte könnte mir einer eine aufgabe stellen
> oder mir den Weg erklären ich ich soetwas mit parametern
> mache?? Mir ich denke da muss ich diverse Fallunterscheide
> machen .
Für die Annäherung von rechts an x=-1 nimmst du x=-1+h, h>0, setzt dies ein und untersuchst den Grenzwert für h->0.
"Schnellmethode":
- Den Wert x einer Lücke in den Zähler z(x) einsetzen
- Ist [mm]z(x) \neq 0[/mm] , dann wird der Funktionswert [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] und man muss nur noch herausfinden, welcher der beiden Fälle bei Annäherung von links bzw. von rechts vorliegt. Diese Stelle heißt dann Pol(stelle).
- Ist [mm]z(x) = 0[/mm] muss man genauer hinschauen. Es kann dann ein Pol oder eine hebbare Defintionslücke vorliegen.
Gruß, MatheOldie
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kannst du mir eine konkrete aufgabe geben damit ich es darauf anwenden kann?
Also wenn ich das richtig verstnanden habe wenn ich mich den polstellen nähere muss ich den fallunterschied machen k größer als die pollücke und k kleiner als die pollücke also es kommt darauf an von welcher seite ich mich der polstelle nähere (links rechts)
Angenommen ich habe eine polstelle bei 1 und k so jetzt komme ich von rechts also k>1
mal folgende ausgangfunktion: [mm] \bruch{k+1}{1-x}
[/mm]
z(1))= k+1 <0 weil ich vorher gesgta habe k >1
n(1)=0 muss ja null sein da dort meine polstelle
n(2) liegt ja rechts von 1=-1
Also Grenzwert:
rechts limes gegen 1 [mm] f(x)=-\infty
[/mm]
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Hallo PeterSteiner,
ich nehme lieber deine Eingangsfunktion [mm]f(x)=\frac{4x^4-x}{2x^2-2x-4}[/mm] mit den Definitionslücken [mm]x_1=-1, x_2=2[/mm]
Annähern von links heißt: x<-1, ich setze also x=-1-h (für h>0):
[mm]f(-1-h)=\frac{4(-1-h)^4- (-1-h)}{2(-1-h)^2-2(-1-h)-4} = \frac{4(1+h)^4+ (1+h)}{2(1+h)^2+2(1+h)-4} = \frac{4(1+h)^4+ (1+h)}{6h+2h^2} [/mm]
Weil h>0 ist, ist also der Zähler >0 und der Nenner >0, der gesamte Funktionsausdruck also >0. Wenn man h-> gehen läßt, geht damit der Zähler gegen +5, der Nenner gegen 0 und der Gesamtausdruck gegen [mm]+\infty[/mm]
Bei der "Schnellmethode" berechnet man z(-1)=5 (der im Grenzwert oben gefundene Wert!). Setzt man gedanklich einen etwas kleineren Wert als -1 im Nenner ein, denn erhält man den Wert
[mm] 2*(-1,...)^2 [/mm] - 2*(-1,...) - 4 = 2,... + 2,.. -4 >0!
Das haben wir oben durch die Rechnung mit x=-1-h etwas mühsamer herausgefunden.
Diese Vorgehensweisen fasst man dann gerne in Regeln für die Untersuchung an Definitionslücken zusammen.
Gruß, MatheOldie
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