Verhalten an den Polstellen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Ayhan |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
habe eine Frage zum Verhalten an den polstellen bei gebr.-rat.-fkt.
Unzwar ich verstehe nicht warum bei einer gebr.-rat.-fkt. für das bestimmen der verhalten an den polstellen , manchmal durch den höchsten potenz der zähler dividiert wird,und warum manchmal durch den höchsten potenz der nenner dividiert wird..
zB.:
f(x =
[mm] \bruch{6*x}\bruch{x^2-4}
[/mm]
hier wäre doch +/-2 die definitionslücken .
Um das verhalten an den polstellen zu bestimmen ,muss man denn duch x oder durch [mm] x^2 [/mm] sowohl bei Zähler als auch bei Nenner ???
Wie muss man hier vorgehen?bitte um hilfe.
Liebe Grüße
Ayhan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hallo Ayhan,
ich glaube zu wissen, wo deine Verwirrung liegt, also hier mein Erklärungsversuch:
Wie du schon richtig erkannt hast, sind die Nullstellen des Nenners einer gebr.-rat.-Fkt. die Definitionslücken. Um das Verhalten dort zu erkennen, musst du nun noch kontrollieren, ob Zähler und Nenner eine oder mehrere Nullstellen gemeinsam haben. Bsp:
[mm] f(x)=\bruch{6(x-2)}{x^2-4}=\bruch{6(x-2)}{(x-2)(x+2)}
[/mm]
hat Definitionslücken (=Nullstellen des Nenners) bei [mm] \pm [/mm] 2. Da der Zähler jedoch bei 2 auch eine Nullstelle hat, sieht das Schaubild der Funktion f aus wie das der Funktion
[mm] g(x)=\bruch{6}{x+2} [/mm] .
Um das Verhalten an den Def.-Lücken festzustellen, darf man also gemeinsame Nullstellen des Zählers und Nenners kürzen. In diesem Beispiel würde gelten
[mm] \limes_{x\rightarrow 2}f(x)=\bruch{6}{2+2}=\bruch{3}{2}
[/mm]
Für [mm] x\to-2 [/mm] (von links) gilt, wie du warscheinlich weisst: f(x) [mm] \to -\infty [/mm] und für [mm] x\to-2 [/mm] (von rechts):f(x) [mm] \to \infty.
[/mm]
In dem Beispiel, das du angegeben hattest
[mm] f(x)=\bruch{6x}{x^2-4}
[/mm]
gibt es nichts zu kürzen, weil Zähler und Nenner keine gemeinsamen Nullstellen haben.
Das kürzen mit der höchsten Potenz benutzt man, wenn man das Verhalten von gebr.-rat Fkt. für x [mm] \to -\infty [/mm] bzw. [mm] \infty [/mm] untersuchen möchte. Hier gilt:
1. ist die höchste Potenz des Zählers höher als die höchste des Nenners, geht [mm] f(x)\to\pm\infty, [/mm] für [mm] x\to\pm\infty [/mm] (z.B.: [mm] f(x)=\bruch{x^3+1}{x^2-2x-1}) [/mm]
(wann f gegen Plus oder Minus Unendlich geht hängt von der Fkt. ab, ich denke mal du weiss wie das geht)
2. ist höchste Potenz des Nenners höher als die höchste des Zählers, gilt
[mm] f(x)\to [/mm] 0, für [mm] x\to\pm\infty [/mm] (z.B.bei [mm] f(x)=\bruch{6x}{x^2-4} [/mm] )
3. sind die Potenzen in Zähler und Nenner gleich hoch, dann kürzt man mit dieser Potenz und erhält den Grenzwert
[mm] (z.B.:f(x)=\bruch{-3x^2+2x+1}{4x^2-1}=\bruch{-3+\bruch{2}{x}+\bruch{1}{x^2}}{4-\bruch{1}{x^2}} [/mm] und erkennt dass, wenn [mm] x\to\pm\infty, f(x)\to-\bruch{3}{4}.
[/mm]
Alles klar? ;)
Walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hallo Walde ,
ich danke Dir für deine gute und ausführliche beschilderung auf meine anfrage.Ich bin zwar der sache etwas näher gekommen ,aber ehrlich gesagt habe es noch nicht ganz verstanden.
Woher soll ich aber wissen ,ob ich Gwisse fkt.gegen 0,oder gegen +- unentlich untersuchen soll,oder ob ich durch den höchsten potenz des Nenners oder des Zählers dividieren soll.
In der schule im unterricht hatten wir paar aufgaben gerechnet gehabt ,der Lehrer hat bei der einen aufgabe durch den höchsten potenz des Nenners (mit Kehrwert ) dividiert , dann bei einer anderen durch den höchsten des Zählers. Und da konnte ich nicht mehr folgen ,erklärte es kurz konnte es aber nicht verstehen.
Schreibe Montag ne Klausur bis dahin will ich das ganz gerne drauf haben.
Nachdem ich dieses gepostet habe ,will ich mal eine aufgabenbeispiel hochladen ,und dazufügen.diese zB.:haben wir im Unterricht gerrechnet gehabt.dort ging alles glatt bis zu polsteelen und definitionsberreich,danach alles bergab.
Liebe Grüße
Ayhan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Ayhan!
Darf ich aus der Handschrift deines Anhangs mal darauf tippen, dass du ein Mädchen bist?  Nicht, dass das wichtig wäre, fiel mir nur gerade so auf. 
> Woher soll ich aber wissen ,ob ich Gwisse fkt.gegen 0,oder
> gegen +- unentlich untersuchen soll,oder ob ich durch den
> höchsten potenz des Nenners oder des Zählers dividieren
> soll.
Also, ob du den Grenzwert für x gegen 0 oder x gegen [mm] \pm \infty [/mm] berechnen sollst, dass muss dir im Prinzip eigentlich vorgegeben werden. Wir haben in der Schule wohl meistens bei Kurvendiskussionen den Grenzwert für [mm] x\to\pm\infty [/mm] berechnet (oft wird das auch einfach "Verhalten der Funktion im [mm] \pm [/mm] Unendlichen" genannt). Evlt. will euer Lehrer aber auch immer das Verhalten an den Polstellen untersucht haben, dann musst du wohl auch den Grenzwert berechnen, wenn x gegen die Definitionslücke (also die Nullstelle des Nenners) geht.
Durch welche Potenz du dividieren sollst, da würde ich mich doch erstmal an die "Regeln" von Walde halten. Ich bin mir nämlich nicht sicher, ob da bei dir das richtige angekommen ist, von dem, was der Lehrer gesagt hat (das liegt sicher eher am Lehrer als an dir, jedenfalls ist mir eine Regel, wie du sie vorschlägst bzw. suchst, nicht bekannt).
> In der schule im unterricht hatten wir paar aufgaben
> gerechnet gehabt ,der Lehrer hat bei der einen aufgabe
> durch den höchsten potenz des Nenners (mit Kehrwert )
> dividiert , dann bei einer anderen durch den höchsten des
> Zählers. Und da konnte ich nicht mehr folgen ,erklärte es
> kurz konnte es aber nicht verstehen.
> Schreibe Montag ne Klausur bis dahin will ich das ganz
> gerne drauf haben.
Wenn du die Möglichkeit hast, frag deinen Lehrer doch nochmal genau und schreib dir auf, wie er es meint.
> Nachdem ich dieses gepostet habe ,will ich mal eine
> aufgabenbeispiel hochladen ,und dazufügen.diese zB.:haben
> wir im Unterricht gerrechnet gehabt.dort ging alles glatt
> bis zu polsteelen und definitionsberreich,danach alles
> bergab.
Dieses Beispiel hilft auf jeden Fall schonmal. Habe mir mal deine Grenzwertbetrachtung obiger Funktion angeguckt, und da ist es egal, ob du mit x oder mit [mm] x^2 [/mm] kürzt. Und im Prinzip habt ihr sogar beides gemacht. Denn, wenn du mit x kürzt, steht da:
[mm] \lim_{x\to\pm\infty}{\bruch{6}{x-\bruch{4}{x}}}
[/mm]
und wenn du mit [mm] x^2 [/mm] kürzt, steht da:
[mm] \lim_{x\to\pm\infty}{\bruch{\bruch{6}{x}}{1-\bruch{4}{x}}}
[/mm]
und wenn ich mich nicht irre, hast du da beides hintereinander in einer Zeile stehen. Jedenfalls kommt beide Male derselbe Grenzwert raus - ist dir dabei denn klar, warum?
Hast du vielleicht noch ein paar solcher Funktionen (notfalls einfach aus dem Mathebuch) die du posten kannst und wo du einfach mal versuchst, nur den Grenzwert zu berechnen? Evtl. finden wir dann heraus, was dein Lehrer meinte, bzw. du verstehst, wie man das macht, so allgemein fällt mir da nämlich nicht ein, wie man das erklärt...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hi Bastiane ,
Danke für Deine Antwort - Hilfe.(Übrigens bin männlich
Spielt das wirklich den keine rolle ,duch was ich dividiere ,ob zB.:x oder [mm] x^2 [/mm] ?
schaumal hier auf ner wepsite steht immer nur durch höchste potenz des zählers.Bei fall 1.
http://www.mathe-profis.de/mathe.php?page=klasse_12/kurvendiskussion/15
Fall 2.
http://www.mathe-profis.de/mathe.php?page=klasse_12/kurvendiskussion/16
Werde mal schauen ob ich die aufgaben oder ähnliche finde,dann werde ich diese auch mal posten.
Liebe Grüße
Ayhan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Do 09.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Hi Bastiane ,
> Danke für Deine Antwort - Hilfe.(Übrigens bin männlich
> Spielt das wirklich den keine rolle ,duch was ich
> dividiere ,ob zB.:x oder [mm]x^2[/mm] ?
>
> schaumal hier auf ner wepsite steht immer nur durch
> höchste potenz des zählers.Bei fall 1.
>
> http://www.mathe-profis.de/mathe.php?page=klasse_12/kurvendiskussion/15
> Fall 2.
>
> http://www.mathe-profis.de/mathe.php?page=klasse_12/kurvendiskussion/16
>
> Werde mal schauen ob ich die aufgaben oder ähnliche
> finde,dann werde ich diese auch mal posten.
>
> Liebe Grüße
> Ayhan
>
Hallo Ayhan,
es liegt ein kleines Mssverständnis vor. In unserer Aufgabe betrachten wir das Verhalten
der Funktion an den Polsstellen, wir gucken also was passiert, wenn der Nenner gegen
$0$ läuft.
In den Links die du gepostet hast, beschäftigt man sich mit dem Verhalten am Randbereich,
also für $x$, deren Betrag gegen [mm] $\infty$ [/mm] läuft.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Gruß
Nicolas
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Hallo liebe Ayhan,
mache Dir wegen der Klausur keine Gedanken, erfahrungsgemäß gibt es für die Limiten nur j ein, zwei Punkte, da Du die anderen Sachen ja ganz gut kannst kommt es in der Klausur wahrscheinlich nicht so sehr darauf an...
Zum Dividieren: normalerweise dividiert man gar nicht mehr sondern betrachtet nur den Grad des Zählerpolynoms und den des Nennerpolynoms, im folgenden als Z und N abgekürzt:
Sei Z>N (Bsp [mm] $\frac{x^2+2x+3}{x+5}$)
[/mm]
so gilt [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty$
[/mm]
und [mm] $\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$
[/mm]
vereinfachte Begründung: das Zählerpolynom strebt stärker gegen [mm] \pm \infty [/mm] als das Nennerpolynom.
Sei Z<N Bsp [mm] $\frac{x+5}{x^2+2x+3}$)
[/mm]
so gilt [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$
[/mm]
und [mm] $\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0$
[/mm]
vereinfachte Begründung: das Nennerpolynom strebt stärker gegen [mm] \pm \infty [/mm] als das Zählerpolynom, d.h. während das Zählerpolynom noch eine [mm] \mathbb{R}-wertige [/mm] Zahl ist, ist der Nenner schon [mm] \infty [/mm] und eine [mm] \mathbb{R}-wertige [/mm] Zahl durch [mm] \infty [/mm] gibt 0
Das ist letztlich der ganze Zauber der hinter allem steckt. Diese Reglen lassen sich auch ganz allgemein und korrekt beweisen, damit möchte ich Dich aber nicht belasten.
Wenn einem die Regeln nicht genug sind, dann kann man noch begründen in dem man mit x bzw [mm] x^n [/mm] dividiert. Man wählt dabei jeweils den nötigen Grad, bei dem das x im Zäher oder Nenner sich wegkürzt.
Unser Bsp von Oben:
[mm] $\rightarrow\limes_{x\infty}\frac{x^2+2x+3}{x+5}$
[/mm]
[mm] \rightarrow$\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{x^2+2x+3}{x}}{\frac{x+5}{x}}$
[/mm]
[mm] \rightarrow$\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{x+2+3}{5}=\frac{"\infty"}{5}=\infty$
[/mm]
Nach der Regel Z>N [mm] \rightarrow \infty [/mm] wäre man auch schon so schlau gewesen.
Man kann also obige Regeln verwenden, sie stimmen auf jeden fall! Wenn man dann noch weiter begründen will (was man schon weiß) kann man ja noch durch [mm] x^n [/mm] teilen, so dass entweder im Zähler oder im Nenner alle x wegfallen...
Anmerkung: Diese "kürzungen" dürfen natürlich nur bei Limiten verwendet werden, im allgemeinen darf man ja Summen und Differenzen nicht kürzen.
Viel Erfolg in der Klausur!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Do 09.03.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hallo Nachtwaechter ,
glaube dass ich das jetzt verstanden zuhaben.
Mein Lehrer meinte er wolle den zähler konstant machen.
"Man wählt dabei jeweils den nötigen Grad, bei dem das x im Zäher oder Nenner sich wegkürzt ".
Das bringt mich schon viel weiter ...
Liebe Grüße
Ayhan
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Hallo Nachtwaechter,
> Unser Bsp von Oben:
>
> [mm]\rightarrow\limes_{x\infty}\frac{x^2+2x+3}{x+5}[/mm]
> [mm]\rightarrow[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{x^2+2x+3}{x}}{\frac{x+5}{x}}[/mm]
> [mm]\rightarrow[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{x+2+3}{5}=\frac{"\infty"}{5}=\infty[/mm]
>
Hier macht es zwar keinen Unterschied aber um bei späteren "echten" Grenzwerten konsistent bleiben zu können würde ich die letzte Zeile durch
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{x+2}{1}=\frac{"\infty"}{1}=\infty[/mm]
ersetzen.
viele Grüße
mathemaduenn
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