Verhalten für x nahe null < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mi 08.12.2010 | | Autor: | michi25 |
| Aufgabe | Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von f für x nahe 0.
[mm] f(x)=3x^{3}-9x^{2}-120x+5 [/mm] |
Hallo erstmal.
Meine Frage ist eigentlich nur wie ich dieses Verhalten herausbekomme.
Ich weiß, dass der Graph etwa einen wellenlinie bildet und etwa bei x=0 auch y=0 berührt.
Ich weiß , dass es was mit Limes zu tun hat.
lim(f(x)) = nur hier ist die Frage , da ich zwar jetzt weiß wie der Graph
[mm] x\mapsto [/mm] 0 aussieht aber wenn ich es mal nicht weiß wie ich dieses Verhalten bestimmen kann;aber auch wie ich dies nun für die Gleichung bestimmen kann , da wenn x<0 y steigt, und wenn x>0 ys sinkt un dann halt diese Wellenlinien entstehen
Würde mich über schnelle Tipps freuen
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Mi 08.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von f für x
> nahe 0.
> [mm]f(x)=3x^{3}-9x^{2}-120x+5[/mm]
>
> Hallo erstmal.
> Meine Frage ist eigentlich nur wie ich dieses Verhalten
> herausbekomme.
> Ich weiß, dass der Graph etwa einen wellenlinie bildet
> und etwa bei x=0 auch y=0 berührt.
Also wenn Du für x=0 einsetzt kommt aber y=5 heraus und nicht 0.
> Ich weiß , dass es was mit Limes zu tun hat.
> lim(f(x)) = nur hier ist die Frage , da ich zwar jetzt
> weiß wie der Graph
> [mm]x\mapsto[/mm] 0 aussieht aber wenn ich es mal nicht weiß
> wie ich dieses Verhalten bestimmen kann;aber auch wie ich
> dies nun für die Gleichung bestimmen kann , da wenn x<0 y
> steigt, und wenn x>0 ys sinkt un dann halt diese
> Wellenlinien entstehen
Du solltest zusätzlich zum Wert der Funktion an der Stelle x=0 noch die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion an der Stelle x=0 noch bestimmen, dann kannst Du Aussagen darüber machen ab bei Null ein extrem Wert (Maximum oder Minimum) vorliegt oder nicht. Polstellen (Nullstellen des Nenners) hat diese Funktion nicht also muss man auch nichts untersuchen.
> Würde mich über schnelle Tipps freuen
> Danke
Hoffentlich hilft das ein bisschen weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 08.12.2010 | | Autor: | michi25 |
hi
> Du solltest zusätzlich zum Wert der Funktion an der Stelle
> x=0 noch die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion an
> der Stelle x=0 noch bestimmen, dann kannst Du Aussagen
> darüber machen ab bei Null ein extrem Wert (Maximum oder
> Minimum) vorliegt oder nicht. Polstellen (Nullstellen des
> Nenners) hat diese Funktion nicht also muss man auch nichts
> untersuchen.
naja weiterhelfen :D null hat keinen extrem wert , bei dem rest weiß ich nicht so ganz was du meinst . sorry.
würde mich immernoch über tipps freuen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ganz nahe bei 0 ist [mm] x^3 [/mm] und [mm] x^2 [/mm] sehr viel kleiner als |x|, also verhält sich die funktion beinahe wie der Rest ohne [mm] x^3 [/mm] und [mm] x^2
[/mm]
man kann auch sagen: in der Nähe irgendeines Punktes wird eine Funktion durch ihre Tangente sehr gut angenähert, verhält sich also wie diese.
damit dir das kar wird plotte die fkt und ihre Tangente und vergrößere das Stück um 0
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Mi 08.12.2010 | | Autor: | chrisno |
Michi hat 11. Klasse angegeben. Ich vermute, dass da Limes etwas ganz neues ist. Hier fehlen Informationen vom Michi. Daher kennt er auch noch keine Ableitungen. Ich frage, ob die Aufgabe mit Rechenregeln für den Limes gelöst werden soll, oder ob es eher um eine Betrachtung der Art: "wenn das klein ist, dann ist dieser Term größer als der andere" geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Abend!
> Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von f für x
> nahe 0.
> [mm]f(x)=3x^{3}-9x^{2}-120x+5[/mm]
>
> Hallo erstmal.
> Meine Frage ist eigentlich nur wie ich dieses Verhalten
> herausbekomme.
...
> Danke
Es gibt einen sehr formalen Weg, der fast ohne Denken auskommt, dafür aber ziemlich viel Rechnerei erfordert:
Wenn Du [mm] $\lim_{x \to a}f(x)$ [/mm] berechnen sollst, kannst Du folgende Substitution vornehmen:
$x = [mm] a+\frac1n~\vee~x=a-\frac1n$ [/mm] denn [mm] $\lim_{n \to \infty} [/mm] x = a$ wobei Du Dich einmal von rechts bzw. von links dem Wert a annäherst.
In Deinem Fall ist a = 0, was natürlich die nachfolgende Rechnerei stark vereinfacht.
Viel Erfolg.
Salve
Pappus
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:39 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend!
>
> > Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von f für x
> > nahe 0.
> > [mm]f(x)=3x^{3}-9x^{2}-120x+5[/mm]
> >
> > Hallo erstmal.
> > Meine Frage ist eigentlich nur wie ich dieses Verhalten
> > herausbekomme.
> ...
> > Danke
>
> Es gibt einen sehr formalen Weg, der fast ohne Denken
> auskommt, dafür aber ziemlich viel Rechnerei erfordert:
>
> Wenn Du [mm]\lim_{x \to a}f(x)[/mm] berechnen sollst, kannst Du
> folgende Substitution vornehmen:
>
> [mm]x = a+\frac1n~\vee~x=a-\frac1n[/mm] denn [mm]\lim_{n \to \infty} x = a[/mm]
> wobei Du Dich einmal von rechts bzw. von links dem Wert a
> annäherst.
>
> In Deinem Fall ist a = 0, was natürlich die nachfolgende
> Rechnerei stark vereinfacht.
ich finde diese Aussage irreführend. Das ganze führt nämlich genau dann zum richtigen Ergebnis, wenn man etwas über die Funktion an der betrachteten Stelle weiß:
Die Existenz des Grenzwertes an der betrachteten Stelle, oder aber (ein klein wenig) mehr: Stetigkeit an der betrachteten Stelle.
Ansonsten muss man das ganze eigentlich erstmal so machen, dass man "irgendeine Folge [mm] $(a_n)_n$, [/mm] die gegen [mm] $a\,$ [/mm] strebt (und nur für endlich viele Indizes den Wert [mm] $a\,$ [/mm] annimmt), hernimmt"... - denn dann kann man, weil man ja einzig diese "Konvergenz-Eigenschaft" der Folge (einschließlich der "nur endlich viele Folgenglieder nehmen den Wert [mm] $a\,$ [/mm] an"-Eigenschaft), wenn man damit ein entsprechendes Ergebnis erzielt, sagen, dass für jede Folge mit diesen Eigenschaften etwas für die Folge der entsprechenden Funktionswerte gilt.
Und das kann man so auch mit schulischen Mitteln lösen, sofern man schon weiß, dass die "Summen- und die Produkt-Folge" endlich vieler konvergenter Folgen gegen die entsprechende Summe bzw. das entsprechende Produkt der Grenzwerte konvergiert.
Denn beachte:
Bei [mm] $f(x)=\sin(1/x)$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] und [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] sind mit
[mm] $$x_n=\frac{1}{n*\pi}$$
[/mm]
und
[mm] $$y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n*\pi}$$
[/mm]
zwei von rechts gegen [mm] $0\,$ [/mm] konvergierende Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n$ [/mm] gegeben, so dass zwar [mm] $f(x_n) \to 0=f(0)\,,$ [/mm] aber [mm] $(f(y_n))_n$ [/mm] divergiert.
Man kann also "nicht immer durch Addition einer speziellen Nullfolge" direkt ein "vernünftiges Ergebnis" erzielen - was aber von Dir suggeriert wird. Natürlich kann man trotzdem auch erstmal Deinen Ansatz verfolgen - aber i.a. ist alleine daraus noch nichts wirklich ableitbar.
Gruß,
Marcel
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