Verhalten v. Funkt. untersuch. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht bbzw. weiß nicht, was ich jetzt konkret tun soll. Ich kann sagen, dass bei [mm] z_{0}=0 [/mm] die Funktion [mm] \bruch{e^{z}}{z^2} [/mm] einen Pol 2. Ordnung hat, und die FUnktion [mm] \bruch{\cos(z)-1}{z^{2}} [/mm] einen Pol 1. Ordnung.
Für [mm] z_{1} [/mm] = [mm] \infty [/mm] nimmt [mm] \bruch{e^{z}}{z^2} [/mm] den Wert [mm] \infty [/mm] an, und [mm] \bruch{\cos(z)-1}{z^{2}} [/mm] den Wert 0. Aber was wollen die jetzt hören, wenn ich insbesondere "in einer Umgebung" untersuchen soll?
Vielen Dank für Eure Ratschläge,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo!
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> Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht bbzw. weiß nicht,
> was ich jetzt konkret tun soll. Ich kann sagen, dass bei
> [mm]z_{0}=0[/mm] die Funktion [mm]\bruch{e^{z}}{z^2}[/mm] einen Pol 2.
> Ordnung hat,
Stimmt !
> und die FUnktion [mm]\bruch{\cos(z)-1}{z^{2}}[/mm]
> einen Pol 1. Ordnung.
Stimmt nicht !
Schreib mal die Potenzreihe von cos(z) hin, zieh 1 ab und teile durch [mm] z^2. [/mm]
Dann siehst Du, dass [mm]\bruch{\cos(z)-1}{z^{2}}[/mm] in 0 eine hebbare Singulartät hat
> Für [mm]z_{1}[/mm] = [mm]\infty[/mm] nimmt [mm]\bruch{e^{z}}{z^2}[/mm] den Wert [mm]\infty[/mm]
> an, und [mm]\bruch{\cos(z)-1}{z^{2}}[/mm] den Wert 0. Aber was
> wollen die jetzt hören, wenn ich insbesondere "in einer
> Umgebung" untersuchen soll?
Tipp: sollst Du f in [mm] z_1 [/mm] = [mm] \infty [/mm] untersuchen, so untersuche f(1/z) in [mm] z_0 [/mm] = 0
FRED
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> Vielen Dank für Eure Ratschläge,
> Stefan.
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Danke für deine Hilfe, fred!
Natürlich hat [mm] \bruch{\cos(z)-1}{z^{2}} [/mm] eine hebbare Singularität, da hab ich Mist gebaut.
> Tipp: sollst Du f in [mm]z_1[/mm] = [mm]\infty[/mm] untersuchen, so
> untersuche f(1/z) in [mm]z_0[/mm] = 0
Also wäre dann für die Stelle [mm] $z_{0}=0$:
[/mm]
[mm] $f\left(\bruch{1}{z}\right) [/mm] = [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{z}}}{\left(\bruch{1}{z}\right)^{2}} [/mm] = [mm] z^{2}*e^{\bruch{1}{z}}$
[/mm]
Wir hatten einen Satz, der besagt, dass wenn g(z) eine Singularität in [mm] z_{0} [/mm] hat, [mm] e^{g(z)} [/mm] dann eine wesentliche Singularität in [mm] z_{0} [/mm] besitzt. Das könnte ich dann hier für [mm] z_{0}=0 [/mm] anwenden, denn [mm] \bruch{1}{z} [/mm] hat bei [mm] z_{0} [/mm] = 0 einen Pol 1. Ordnung = Singularität, also hat die Funktion [mm] f\left(\bruch{1}{z}\right) [/mm] dort eine wesentliche Singularität?
Für die andere Funktion:
[mm] $g\left(\bruch{1}{z}\right) [/mm] = [mm] \bruch{\cos\left(\bruch{1}{z}\right)-1}{\left(\bruch{1}{z}\right)^{2}} [/mm] = [mm] z^{2}*\left(\cos\left(\bruch{1}{z}\right)-1\right)$
[/mm]
Also hätte ich ja schonmal für [mm] \bruch{1}{z} [/mm] in [mm] z_{0} [/mm] = 0 einen Pol 1. Ordnung. Durch den Kosinus wird der Pol meiner Meinung nach weder abgeschwächt noch verstärkt (Gott, ist das schwammig). [mm] z^{2} [/mm] kann als Faktor aber den Pol aufheben, deswegen würde ich sagen, dass eine hebbare Singularität vorliegt.
Ist das richtig?
Wie könnte ich das mathematisch korrekter formulieren?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:22 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Hilfe, fred!
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> Natürlich hat [mm]\bruch{\cos(z)-1}{z^{2}}[/mm] eine hebbare
> Singularität, da hab ich Mist gebaut.
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> > Tipp: sollst Du f in [mm]z_1[/mm] = [mm]\infty[/mm] untersuchen, so
> > untersuche f(1/z) in [mm]z_0[/mm] = 0
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> Also wäre dann für die Stelle [mm]z_{0}=0[/mm]:
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> [mm]f\left(\bruch{1}{z}\right) = \bruch{e^{\bruch{1}{z}}}{\left(\bruch{1}{z}\right)^{2}} = z^{2}*e^{\bruch{1}{z}}[/mm]
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> Wir hatten einen Satz, der besagt, dass wenn g(z) eine
> Singularität in [mm]z_{0}[/mm] hat, [mm]e^{g(z)}[/mm] dann eine wesentliche
> Singularität in [mm]z_{0}[/mm] besitzt.
Aber nur, wenn g in [mm] z_0 [/mm] keine hebbare Sing. hat !!
> Das könnte ich dann hier für
> [mm]z_{0}=0[/mm] anwenden, denn [mm]\bruch{1}{z}[/mm] hat bei [mm]z_{0}[/mm] = 0 einen
> Pol 1. Ordnung = Singularität, also hat die Funktion
> [mm]f\left(\bruch{1}{z}\right)[/mm] dort eine wesentliche
> Singularität?
ja, aber Du kannst es auch so sehen
$ [mm] e^{1/z} [/mm] = 1+ [mm] \bruch{1}{z}+\bruch{1}{2!z^2}+\bruch{1}{3!z^3}+\bruch{1}{4!z^4}+ [/mm] ....$
also
$ [mm] z^2e^{1/z} [/mm] = [mm] z^2+z+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!z}+\bruch{1}{4!z^2}+ [/mm] ....$
Somit hat [mm] z^2e^{1/z} [/mm] in 0 eine wesentliche Sing.
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> Für die andere Funktion:
>
> [mm]g\left(\bruch{1}{z}\right) = \bruch{\cos\left(\bruch{1}{z}\right)-1}{\left(\bruch{1}{z}\right)^{2}} = z^{2}*\left(\cos\left(\bruch{1}{z}\right)-1\right)[/mm]
>
> Also hätte ich ja schonmal für [mm]\bruch{1}{z}[/mm] in [mm]z_{0}[/mm] = 0
> einen Pol 1. Ordnung. Durch den Kosinus wird der Pol meiner
> Meinung nach weder abgeschwächt noch verstärkt (Gott, ist
> das schwammig). [mm]z^{2}[/mm] kann als Faktor aber den Pol
> aufheben, deswegen würde ich sagen, dass eine hebbare
> Singularität vorliegt.
> Ist das richtig?
nein ! Mach es doch wie oben: Reihe für $cos(1/z)$, dann 1 abziehen und dann mit [mm] z^2 [/mm] mult. Fertig ist die Laurententw. von
[mm] $z^{2}\cdot{}\left(\cos\left(\bruch{1}{z}\right)-1\right) [/mm] $
und Du siehst: in 0 liegt eine wesentliche Sing. vor
Tipp: wenn die Laurententwicklung einfach herzustellen ist, so benutze sie auch
Gruß FRED
> Wie könnte ich das mathematisch korrekter formulieren?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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Hallo!
Bei meiner Reihenentwicklung der Funktion [mm] $\frac{\cos(\frac{1}{z})-1}{(\bruch{1}{z})^{2}}$ [/mm] um [mm] z_{0} [/mm] = 0 erhalte ich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist das so okay? Ich frage insbesondere, weil ja negative Fakultäten in der Reihe auftauchen.
Viele Grüße und danke, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Bei meiner Reihenentwicklung der Funktion
> [mm]\frac{\cos(\frac{1}{z})-1}{(\bruch{1}{z})^{2}}[/mm] um [mm]z_{0}[/mm] = 0
> erhalte ich:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Ist das so okay? Ich frage insbesondere, weil ja negative
> Fakultäten in der Reihe auftauchen.
Nein, das stimmt so nicht. Schreibe doch die reihen aus, dann ergibt sich:
$ [mm] \frac{\cos(\frac{1}{z})-1}{(\bruch{1}{z})^{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{4!z^2}-\bruch{1}{6!z^4}\pm [/mm] ....$
FRED
>
> Viele Grüße und danke, Stefan.
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Danke für die Korrektur!
Stimmts jetzt?:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Korrektur!
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> Stimmts jetzt?:
jetzt stimmts
FRED
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Nachtrag:
Sei f eine ganze Funktion und $f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$
[/mm]
Setze $g(z) = f(1/z)$ für z [mm] \not= [/mm] 0, also
$g(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_n}{z^n}$
[/mm]
Jetzt sieht man:
g hat in 0 eine wesentliche Sing. [mm] \gdw [/mm] f ist kein Polynom
Beispiel: $f(z)= [mm] \bruch{cosz-1}{z^2}$
[/mm]
FRED
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Hallo fred,
vielen Dank für die Antworten, haben mir sehr geholfen!
Grüße, Stefan.
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