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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 So 25.10.2009 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Verifizieren Sie die folgende Gleichung:
1 + 2x + [mm] 3x^{2} [/mm] + [mm] 4x^{3} [/mm] + [mm] 5x^{4} [/mm] + . . . = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{2}} [/mm] , |x|<1
durch Multiplikation der Reihe von [mm] \bruch{1}{(1-x)} [/mm] mit sich selbst. |
Hallo,
könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen. Unser Prof hat mit Reihen noch nicht angefangen, haben aber trotzdem diese Aufgabe auf dem Übungszettel bekommen.
Ich scheitere schon daran, dass ich nicht weiß, wie die Reihe [mm] \bruch{1}{(1-x)} [/mm] aussieht.
Wäre echt dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Grüße,
Anette
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Hallo!
> Verifizieren Sie die folgende Gleichung:
> 1 + 2x + [mm]3x^{2}[/mm] + [mm]4x^{3}[/mm] + [mm]5x^{4}[/mm] + . . . =
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{2}}[/mm] , |x|<1
> durch Multiplikation der Reihe von [mm]\bruch{1}{(1-x)}[/mm] mit
> sich selbst.
> Hallo,
> könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen. Unser
> Prof hat mit Reihen noch nicht angefangen, haben aber
> trotzdem diese Aufgabe auf dem Übungszettel bekommen.
> Ich scheitere schon daran, dass ich nicht weiß, wie die
> Reihe [mm]\bruch{1}{(1-x)}[/mm] aussieht.
Kennst du die geometrische Reihe? Es ist
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}x^{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-x}$
[/mm]
für $|x| < 1$. Nun sollst du wahrscheinlich das ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produkt benutzen.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 So 25.10.2009 | | Autor: | anetteS |
Nein, die geometrische Reihe kannte ich noch nicht, das Cauchy-Produkt auch nicht, hab mir das jetzt aber bei wiki durchgelesen und werd es jetzt nochmal probieren...
Vielen Dank für die schnelle Hilfe ,
viele Grüße,
Anette.
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Hallo!
> > [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!} = \frac{1}{1-x}[/mm]
> mh
> die reihe stellt doch [mm]e^x[/mm] dar, statt einer geometrischen
> reihe 
Oh Mist, du hast Recht! Werde es gleich ändern.
Danke!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Anette,
> Hallolchen nochmal,
> ich habe jetzt folgenden Ansatz gewählt:
> Reihe [mm]a_{n}=b_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!}[/mm]
Der Ansatz ist gut, die Reihe aber die falsche. Und: du musst [mm] $a_n [/mm] = [mm] b_n [/mm] = [mm] \frac{x^n}{n!}$ [/mm] nehmen und nicht als die ganze Reihe.
> Oh, nein, hab jetzt erst euere Mitteilungen gesehen, dass
> die geometrische Reihe falsch war, muss es also nochmal
> anders probieren...
Die geometrische Reihe ist schon richtig, das was da stand war allerdings die Exponentialreihe. Du musst wenn schon [mm] $a_n [/mm] = [mm] b_n [/mm] = [mm] x^n$ [/mm] verwenden.
LG Felix
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