Verkettete Funktionen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sax318 |
| Aufgabe | Die Verkettung der Funktion f(x),g(x) und h(x) ergibt:
f(g(h(x))) = 2x - x²
Die Funktion g sei:
g(x) = x²
---------
wie lauten dann f(x) und h(x) ? |
hallo,
habe soeben theoretisches neuland betreten.
aber schon auf youtube geschaut und ein bisschen im internet geschaut.
f(g(h(x))) = 2x - x²
g(x) = x²
aber leider weiß ich noch nicht ganz wie ich so eine miniverkettung richitg löse.
hoffe ihr könnt mir ein bisschen helfen.
danke schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
vielleichst siehst du, was man als f und h nehmen kann, wenn du dir die Funktion umschreibst zu
f(g(h(x))) = 2x - x² = (-1 + 2x - x²) + 1
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sax318 |
naja ich hätte gesagt ornden nach potenzen.
da g(x) = x²
dann h(g) = 2x
und f(x) = 1
.. aber das wäre ja wohl viel zu einfach..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine "Lösung" hat nichts mit der Aufgabe zu tun.
f(g(h(x))) = 2x - x²
stellt eine Verkettung von Funktionen dar : an einem gewissen x macht sich zuerst die Fubktion h zu schaffen und liefert einen ersten Zwischenwert [mm] z_1 [/mm] = h(x). Dieser Zwischenwert wird von der Funktion g weiter verarbeitet und ergibt einen zweiten Zwischenwert [mm] z_2 [/mm] = [mm] g(z_1). [/mm] Schließlich wird die Funktion f auf dieses Zwischenergebnis losgelassen und produziert [mm] f(z_2) [/mm] und da kommt dann am Ende 2x-x² heraus.
Du weißt, dass die mittlere Funktion g alles quadriert, also musst du in f(g(h(x))) = (-1 + 2x - x²) + 1 nach einem Quadrat suchen. Das x² ist es nicht, denn g quadriert nicht x sondern [mm] z_1 [/mm] !
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 07.12.2010 | | Autor: | sax318 |
oke deinen text mit dem wer sich woran zuschaffen macht habe ich soweit verstanden, was ich aber noch nicht verstehe.
1: wie kommst du auf
f(g(h(x))) = (-1 + 2x - x²) + 1
dort steht doch:
f(g(h(x))) =2x-x²
oke gegeben ist mir g(x) = x²
das heißt x² = z2
an z2 macht dich f(x) zu schaffen und es taucht plötzlich 2x dazu auf.
f(x) = 2x-x² = z3
g(x) = x² = z2
h(x) = z1 = 0
aber 0 kann ja nicht sein, weil aus 0 kann ja nicht z2 und z3 entstehen.
ich habs auch schon auf youtube gesucht eine anleitugn wie man sowas macht, aber leider nix brauchbares.. :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Di 07.12.2010 | | Autor: | chrisno |
Die gesuchte Funktion f ist ja nicht $f(x) = 2x - [mm] x^2$ [/mm] Alle x, die da stehen, kommen von g. g aber quadriert, was immer es auch vorgefunden hat. Daher muss f(x) so umgeschrieben werden, dass alle x in einer Klammer stehen, die quadriert wird. Ich denke, dass ist der beabsichtigte Lösungsweg.
Sonst wäre ja auch $f(z) = [mm] 2\sqrt{z} [/mm] - z$ ein Ansatz. Da gibt es allerdings das Problem, dass nach dem Quadrieren und anschleißenden Wurzelziehen ein negatives Vorzeichen verloren geht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sax318 |
hallo,
also mir wurde jetzt erklärt, wie sich was zusammen setzt und das verstehe ich auch alles jetzt super, auch dank:
http://www.youtube.com/watch?v=-RY9G4FPNXs&feature=fvw
echt super erklärt!
was ich ejtzt nur nicht verstehe:
beispiel:
f(x) = x²-2
g(x) = x²
g ° f = g(f(x)) = (x²-2)² = [mm] x^{4} [/mm] - 2x² + 4
wie mache ich das jetzt wieder rückgängig?, also wie kommt ich von
g(f(x)) = [mm] x^{4} [/mm] - 2x² + 4
wieder auf die beiden funktionen:
f(x) = x²-2
g(x) = x²
erstmal würde ich sehen aaahaa es handelt sich um ein aufgelöstes binom.. wieder zusammenfügen:
wäre ich dann bei:
g(f(x)) = (x²-2)²
jetzt weiß ich das g(x) einfach f(x)² ist - und daher weiß ich, dass f(x) den teil in der klammer ist? also
f(x) = x²-2
g(x) = f(x)² = x²
versuceh ich ejtzt mal mit meinem beispiel:
f(g(h(x))) = 2x-x²
g(x) = x² also ist g(x) = (h(x))²
wäre es nur:
g(h(x)) = 2x-x²
g(x) = h(x)²
dann wäre h(x) [mm] \wurzel{2x-x²}
[/mm]
odeR?
aber da ist ja noch ein f.. :-(
hoffe ihr versteht wos hapert und könnt mir helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Durch
(*) $ g(f(x)) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 4 $
sind die Funktionen f und g nicht eindeutig bestimmt !
Mit
$ g(x) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 4 $ und f(x)=x
gilt ebenfalls (*)
Oder mit
g(x) = x+17 und f(x)= [mm] x^4-2x^2-13
[/mm]
gilt wieder (*)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sax318 |
das hätte ich ja schon soweit verstandne. jetzt auch noch verstanden wenn ncihts dazu gegen eist, gibts mehrere lösungen, aber in meinem buch, im internet und auch hier werden mir immer lediglich zwei verkettungen erklärt, die schaffe ich ja gerade noch, aber nun sind ja 3 verkettungen f(g(h(x))) gegeben.
f(g(h(x))) = 2x -x²
g(h(x)) = x²
jetzt brauche ich ja nur noch h(x)
h(x) = x ?
dann wäre:
g(h(x)) = h(x)² = x²
und f(g(x)) = 2*g(x) - g(x)
wäre dann f(g(x)) = 2x² -x² = x² wäre unsinn
das heißt eine funktion muss nur x sein.
dann ist eine das quadrat von x
und eine mulitpliziert das 2.
f(g(h(x))) = 2h(x) - g(x) dann würds hinhauen, aber da g(x)
schon h(x) beinhaltet ist das ja so verboten.
wobei wenn g(h(x)) = x² muss das ja nicht zwingen heißen, dass h(x) = x ist..
h(X) könte genauso gut 2x sein dann wäre g(h(x)) = h(x)² = 4x²
dann wäre f(g(h(x))) = [mm] \wurzel(g(h(x)) [/mm] = 2x
brauceh ich nur noch was wo mein -x² herkommt...:-((
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Hallo sax318,
was Fred Dir zu sagen versucht, ist, dass es mehrere mögliche Lösungen geben kann.
So auf Anhieb sehe ich z.B. diese:
f(x)=1-x
[mm] g(x)=x^2
[/mm]
h(x)=1-x
Diese Lösung ist aber nicht eindeutig; so könnte z.B. h(x)=x-1 sein, ohne dass sich etwas ändert. Wenn man allerdings fordert, dass f(x)=h(x) ist, dann gibt es nur diese Lösung. Dann wäre es aber besser gewesen, die Aufgabe gleich so zu formulieren:
[mm] f(g(f(x)))=2x-x^2 [/mm] mit [mm] g(x)=x^2, [/mm] gesucht: f(x)
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sax318 |
oke, denke es soweit verstanden zu haben, nun ein beispiel von mir ausgedacht:
f(g(h(x))) = 9 + [mm] 3x^{4} [/mm] - 2x² + x
g(x) = x²
g(x) = h(x)²
h(x) = x
konstante zahlen haben keinen einfluss, damit es sich ausgeht, ein bisserl konstante zahlen hinzufügen, wäre aber egal ob ich 2x4,5 oder 1x9 nehme, also lasse ichs bei h weg und tus dann bei f rein
f(g(x)) = 9 + ?????
jetzt stehe ich schon an.
denn um jetzt x² üebrall einsetzten zu können müsste f(x) ja sein:
f(x) = 9 + 3x² -2x [mm] +\wurzel{x}
[/mm]
korrekt?
aber was tun wenns so stehen würde:
f(g(h(x))) = 9 + [mm] 3x^{3} [/mm] - 2x² + x
bei hoch 3 wirds mit x² schon schwierig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich kanst du mit [mm] g=x^2 [/mm] nicht jede fkt gut als f(g(h) darstellen aber das ist hier ja nicht dein Problem!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sax318 |
mom mal:
f(x) = 1-x
h(x) = 1-x
g(x) = x²
f(x) + g(x) + h(x) =
1-x+1-x+x²
2-2x+x²
wäre ja falsch?
das heißt
f(x) = x
h(x) = x
g(x) = x²
so müssts ja korrekt sein oder? denn:
x+x+x² = 2x +x²
aber es heißt ja: 2x-x² wie krieg ich das - jetzt da rein ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> mom mal:
>
> f(x) = 1-x
> h(x) = 1-x
> g(x) = x²
>
> f(x) + g(x) + h(x) =
Wieso addierst Du ?
> 1-x+1-x+x²
> 2-2x+x²
>
> wäre ja falsch?
> das heißt
> f(x) = x
> h(x) = x
> g(x) = x²
>
> so müssts ja korrekt sein oder?
nein, Du addierst schon wieder und vekettest nicht !
> denn:
> x+x+x² = 2x +x²
>
> aber es heißt ja: 2x-x² wie krieg ich das - jetzt da rein
So:
Wir wissen: [mm] g(x)=x^2
[/mm]
Es soll gelten:
f(g(h(x)))= [mm] 2x-x^2
[/mm]
Also: [mm] f(h(x)^2)= 2x-x^2= -(x^2-2x+1)+1= -(x-1)^2+1
[/mm]
Was ist nun h und was f ?
FRED
> ?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sax318 |
ja fiel mir selbst gerade auf.. kann ja nicht addieren wenn ja eines aus dem ergebnis des anderen besteht..
wo kommen plötzlich die +1 und -1 her? achso mom.. die kommen dann eh wieder weg.. verstehe.
also wenn g(x) = h(x)²
dann ist h(x) ja (x-1)
und f wäre dann ja -1
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Hallo nochmal,
> ja fiel mir selbst gerade auf.. kann ja nicht addieren wenn
> ja eines aus dem ergebnis des anderen besteht..
Hm. Etwas kraus formuliert, aber Du scheinst langsam zu begreifen, was "verkettet" hier heißt.
> wo kommen plötzlich die +1 und -1 her? achso mom.. die
> kommen dann eh wieder weg.. verstehe.
>
> also wenn g(x) = h(x)²
> dann ist h(x) ja (x-1)
> und f wäre dann ja -1
Kannst Du das mal herleiten aus dem, was Fred geschrieben hat? Dann findest Du den enthaltenen Fehler wahrscheinlich sogar selbst.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sax318 |
oke:
also lt. meiner definition:
h(x) = x -1
g(x) = x² --> g(h(x)) = (x-1)² = x² - x - 1
f(x) = -1 --> f(g(x)) = x² - x - 1 -1 = x² - x -2
rauskommen sollte aber:
f(g(h(x))) = 2x-x²
sollte man mal die ganzen sachen umdrehen, dass es auch richtig steht:
mache ich:
h(x) = 1-x
g(x) = x² --> g(h(x)) = (1-x)² = 1 - 2x + x²
f(x) = 1-x -->f(g(x)) = 1-(1 - 2x + x²) = +2x-x²
beeindruckend...
oke jetzt ein beispiel:
f(g(h(x))) = -3x +x² +9
g(x) = -x +3
f(g(h(x))) = 3*(-x+3)+x²
f(x)=3*x
h(x) =x+x²
probe:
g(h(x)) = -x-x²+3
f(g(h(x))) = -3x-3x²+9
__________________
f(g(h(x))) = 3*(-x+3)+x²
g(x) = -x +3
f(x)=3*x
h(x) =1+x²
---
g(h(x)) = -1-x² +3
f(g(x)) = 3*(-1-x² +3)
f(g(x)) =-3-3x² +9 <> f(g(h(x))) = -3x +x² +9
_________
f(g(h(x))) = 3*(-x+3)+x²
g(x) = -x +3
f(x)=x
h(x) =x² -6
----
g(h(x)) = -x² +6+3 = -x² + 9
f(g(x)) = -x² + 9
____________
f(g(h(x))) = 3*(-x+3)+x²
g(x) = -x +3
f(x)=x
h(x) =-x² -6
g(h(x)) = x² +9
fehlt mir ja nur noch 3x
---------------
f(g(h(x))) = 3*(-x+3)+x²
g(x) = -x +3
f(x)=x
h(x) =3x-x² -6
g(h(x)) = -3x+x²+6+3
f(g(x)) = -3x+x²+9 = f(g(h(x))) = -3x +x² +9
juhuuu
scheint ja korrekt zu sein.. hab ich recht? ists korrekt?
hab ich die rätsel dieses dings endlich vestanden?!?! den stein der mathematikweisheit gefunden x-D nagut.. ich wills mal nicht übertreiben, aber ich freie mich,d ass ich sowas mit eurer hilfe zusammengebracht habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sax318 |
aber . im grunde kanns dann ja voll viele lösungen geben, genauso wäre ja danna uch:
beispiel:
f(g(h(x))) = [mm] 123x^{55} [/mm] + x³ + x² + 1234
f(g(x) = x
g(h(x) = x
h(x) = [mm] 123x^{55} [/mm] + x³ + x² + 1234
würde ja auch das richtige raus kommen....??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> aber . im grunde kanns dann ja voll viele lösungen geben,
Ja es gibt "voll" viele Lösungen. So hab ich es oben nicht ausgedrückt, aber gesagt.
> genauso wäre ja danna uch:
>
> beispiel:
> f(g(h(x))) = [mm]123x^{55}[/mm] + x³ + x² + 1234
> f(g(x) = x
> g(h(x) = x
Du meinst wohl f(x)=g(x)=x
FRED
> h(x) = [mm]123x^{55}[/mm] + x³ + x² + 1234
>
> würde ja auch das richtige raus kommen....??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja auf die "triviale" Art geht es immer
aber das war ja nicht der Sinn, g(x) war ja vorgegeben, dann geht es nicht so primitiv.
Gibst du nen Grundschüler die Aufgabe schreibe die Zahl 7 als 2 Summanden, kann er auch unabhängig von der zahl immer 7+0 bei 11 11+0 schreiben usw. gibst du aber eine Zahl vor gibts nicht mehr so viele Lösungen, also schreibe 7 als summe in der 2 vorkommt.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du f(x)=-1 schreibst ist f(g(h(x))=-1 egal was g und h sind!
Gruss leduart
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