Verkettung + Jacobi Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Fr 30.10.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Funktionen f: [mm] \Ir [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] und g: [mm] \IR^3 [/mm] - [mm] \IR [/mm] durch [mm] f(t)=\pmat{ 1+t \\ t^2 \\ 1-t } [/mm] und g(x,y,z)=1+x+xyz. Durch Verkettung von f und g erhält man die Funktionen [mm] u(t)=(g\circ [/mm] f)(t)=g(f(t)) und [mm] v(x,y,z)=(f\circg)(x,y,z)=f(g(x,y,z)) [/mm]
a) Bestimmen Sie die Ableitung u' und die Jacobi Matrix v'.
b) Ermitteln Sie f' und g'
c) Bestimen Sie mit Hilfe der Teile a) und b) u'(3) und v'(1,-2,4) jeweils auf 2 verschiedene Arten. |
Hallo, könnt ihr mir sagen ob das so richtig ist?
a) 1. Bilden von u(t) = g(f(t))
-> u(t)= [mm] 1+1+t+(1+t)(t^2)(1-t)
[/mm]
= [mm] 2+t+t^2-t^4 [/mm]
[mm] u'(t)=1+2t-4t^3
[/mm]
ist das so korrekt?
Wie muss ich jetzt bei der Jacobi Matrix vorgehen? Hier muss ich ja v(x,y,z)=f(g(x,y,z)) bilden. Also setze ich die Werte von g(x,y,z) in f ein.
Ich verstehe aber nicht, wie das nun aussehen sollte...
Bitte um Hilfe.
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Fr 30.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien die Funktionen f: [mm]\Ir[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] und g: [mm]\IR^3[/mm] -
> [mm]\IR[/mm] durch [mm]f(t)=\pmat{ 1+t \\ t^2 \\ 1-t }[/mm] und
> g(x,y,z)=1+x+xyz. Durch Verkettung von f und g erhält man
> die Funktionen [mm]u(t)=(g\circ[/mm] f)(t)=g(f(t)) und
> [mm]v(x,y,z)=(f\circg)(x,y,z)=f(g(x,y,z))[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Ableitung u' und die Jacobi Matrix
> v'.
> b) Ermitteln Sie f' und g'
> c) Bestimen Sie mit Hilfe der Teile a) und b) u'(3) und
> v'(1,-2,4) jeweils auf 2 verschiedene Arten.
> Hallo, könnt ihr mir sagen ob das so richtig ist?
>
> a) 1. Bilden von u(t) = g(f(t))
>
> -> u(t)= [mm]1+1+t+(1+t)(t^2)(1-t)[/mm]
> = [mm]2+t+t^2-t^4[/mm]
>
> [mm]u'(t)=1+2t-4t^3[/mm]
>
> ist das so korrekt?
Ja
>
> Wie muss ich jetzt bei der Jacobi Matrix vorgehen? Hier
> muss ich ja v(x,y,z)=f(g(x,y,z)) bilden. Also setze ich die
> Werte von g(x,y,z) in f ein.
>
> Ich verstehe aber nicht, wie das nun aussehen sollte...
So:
$ [mm] f(g(x,y,z))=\pmat{ 1+g(x,y,z) \\ g(x,y,z)^2 \\ 1-g(x,y,z) } [/mm] $
FRED
>
> Bitte um Hilfe.
>
> Danke und Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Fr 30.10.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Danke!
Also ich habe:
[mm] f(g(x,y,z))=\pmat{ 2+x+xyz \\ 1+x^2+(xyz)^2 \\ x+xyz }
[/mm]
[mm] \partial [/mm] x = 1+yz
[mm] \partial [/mm] y = 2xyzxy
[mm] \partial [/mm] z = xy
also: [mm] \pmat{1+yz \\ 2x^2 y^2 z\\ xy}
[/mm]
b) da muss ich doch nur für f' folgendes machen:
f(t) nach t ableiten:
also f'= [mm] \pmat{ 1 \\ 2t \\ -1 }
[/mm]
und g(x,y,z) einmal nach x,y,z ableiten
also g'= [mm] \pmat{1+yz \\ xy \\ xy}
[/mm]
oder?
bitte um rückmeldung! Danke
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Hallo Bodo0686,
> Danke!
>
> Also ich habe:
>
> [mm]f(g(x,y,z))=\pmat{ 2+x+xyz \\ 1+x^2+(xyz)^2 \\ x+xyz }[/mm]
>
> [mm]\partial[/mm] x = 1+yz
> [mm]\partial[/mm] y = 2xyzxy
> [mm]\partial[/mm] z = xy
>
> also: [mm]\pmat{1+yz \\ 2x^2 y^2 z\\ xy}[/mm]
>
> b) da muss ich doch nur für f' folgendes machen:
>
> f(t) nach t ableiten:
>
> also f'= [mm]\pmat{ 1 \\ 2t \\ -1 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und g(x,y,z) einmal nach x,y,z ableiten
>
> also g'= [mm]\pmat{1+yz \\ xy \\ xy}[/mm]
Hier muß g'doch so lauten:
[mm]g'= \pmat{1+yz \\ x\red{z} \\ xy}[/mm]
>
> oder?
>
> bitte um rückmeldung! Danke
Gruss
MathePower
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