Verkettung g°f < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f eine Abb. von A nach B, sei g eine solche von B nach C. Man zeige:
a)
Ist g ° f injektiv, so ist f injektiv.
Ist g °f surjektiv, so ist g surjektiv.
b)
Man gebe eine Menge M und Abbildungen f,g von M in sich an. so dass weder f, noch g bijektiv sind, aber g ° f bijektiv ist. |
Für a) habe ich folgenden Beweis:
Beh: g ° f injektiv -> f ist inj.
Bew: F.a. x,y aus A gilt: g(f(x))=g(f(y)) -> x=y
Seien x,y aus A gegeben. Es gelte g(f(x))=g(f(y)).
(mit assoziativgesetz folgt) (g /circ f)(x)=(g /circ f)(y)
also ist x=y
Beh: g ° f surjektiv -> g ist sur.
Bew: F.a. y aus C gibt es ein x aus A für da gilt: g(f(x))=y
Hieraus folgt bereits, das es zu jedem y ein f(x) aus B gibt mit g(f(x))=y. Also ist g surjektiv.
b) hier habe ich leider keine Idee. Kann mir bitte jemand einen konkreten Tipp geben, wie ich eine solche Verkettung finden kann?
Danke schonmal,
Knuddelbunti
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Hallo!
zu a) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
zu b)
Nehme dir die Abbildung f: x [mm] \to [/mm] x² offensichtlich ist sie nicht bijektiv und die Abbildung g: x [mm] \to \wurzel{x} [/mm] g ist auch nicht bijektiv. Was folgt dann für die Verkettung?
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Di 19.02.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo!
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> zu a)
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> zu b)
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> Nehme dir die Abbildung f: x [mm]\to[/mm] x² offensichtlich ist sie
> nicht bijektiv und die Abbildung g: x [mm]\to \wurzel{x}[/mm] g ist
> auch nicht bijektiv. Was folgt dann für die Verkettung?
Du solltest vielleicht noch die Menge $M$ angeben: dann würdest Du schnell feststellen, dass Dein Beispiel nicht richtig ist.
Falls Du [mm] $M=\IR^{+}_0$ [/mm] wählst, ist $f$ sehr wohl bijektiv. Falls Du aber [mm] $M=\IR$ [/mm] wählst, ist [mm] $g\circ [/mm] f$ nicht bijektiv.
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> Sei f eine Abb. von A nach B, sei g eine solche von B nach
> C. Man zeige:
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> a)
> Ist g ° f injektiv, so ist f injektiv.
> Beh: g ° f injektiv -> f ist inj.
> Bew: F.a. x,y aus A gilt: g(f(x))=g(f(y)) -> x=y
> Seien x,y aus A gegeben. Es gelte g(f(x))=g(f(y)).
> (mit assoziativgesetz folgt) (g /circ f)(x)=(g /circ
> f)(y)
> also ist x=y
Hallo,
ich sehe nicht, wo Du hier die Behauptung gezeigt hast. Du willst doch zeigen, daß f injektiv ist.
Und: was meinst Du hier mit Assoziativgesetz?
Gruß v. Angela
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> b)
> Man gebe eine Menge M und Abbildungen f,g von M in sich an.
> so dass weder f, noch g bijektiv sind, aber g ° f bijektiv
> ist.
> b) hier habe ich leider keine Idee. Kann mir bitte jemand
> einen konkreten Tipp geben, wie ich eine solche Verkettung
> finden kann?
Wie wärs mit [mm] $M=\IZ$ [/mm] und einer Abbildung $f$ die zwar injektiv aber nicht bijektiv ist? $g$ müsste dann nur das Bild von $f$ wieder auf ganz [mm] $\IZ$ [/mm] abbilden (was $g$ mit ausserhalb des Bildes von $f$ liegenden $x$ anstellt, darf beliebig übel - d.h. Bijektivität von $g$ demolierend - sein).
Eine Möglichkeit $f$ zu definieren scheint mir folgende zu sein:
[mm]f:\; x\mapsto \begin{cases}2\cdot |x| &\text{für $x\geq 0$}\\
2\cdot|x|+1 &\text{für $x<0$}\end{cases}[/mm]
Nun müssen wir $g$ so definieren, dass es zwar selbst nicht bijektiv ist, aber dennoch die Wirkung von $f$ exakt rückgängig macht und somit [mm] $g\circ [/mm] f$ eine Bijektion [mm] $\IZ\rightarrow \IZ$ [/mm] ist.
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