Verkettung in Hom(V,V) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Do 03.01.2013 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | Sei X eine Menge, [mm] \phi [/mm] : X [mm] \to [/mm] X eine Abbildung und V = [mm] Abb(X;\IR) [/mm]
Eine Abbildung F ist definiert als:
F : V [mm] \to [/mm] V; f [mm] \to f\circ\phi [/mm]
Zeigen Sie, dass F [mm] \in Hom_{\IR}(V,V). [/mm] |
Hallo,
ich muss glaub ich hier zeigen, dass F linear ist.
sei [mm] f_1,f_2 \in [/mm] V
[mm] F(\lambda_1*f_1+\lambda_2*f_2)= (\lambda_1*f_1+\lambda_2*f_2)\circ \phi
[/mm]
[mm] \lambda_1*F(f_1)+\lambda_2*F(f_2)=\lambda_1*(f_1\circ\phi)+\lambda_2*(f_2\circ\phi)
[/mm]
Die Verknüpfung [mm] f\circ\phi: [/mm] X [mm] \to [/mm] X [mm] \to [/mm] R ist ja wieder V. Aber irgendwie fehlt mir der Trick um die beiden als identisch zu "zeigen"
Ich kann die Klammern ja nich einfach auflösen, deshalb komme ich hier nicht weiter.
Danke für eure Hilfe!
Gesundes neues Jahr!
Gruß Tom
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Du bist auf dem richtigen Weg. Du mußt dich jetzt nur daran erinnen, wie Addition und skalare Multiplikation bei Abbildungen definiert sind, nämlich punktweise, und wann zwei Abbildungen gleich sind:
1. Sind [mm]f,g \in V[/mm] und [mm]\lambda \in \mathbb{R}[/mm], so versteht man unter [mm]f+g[/mm] diejenige Abbildung mit [mm](f+g)(x) = f(x) + g(x)[/mm] und unter [mm]\lambda \cdot f[/mm] diejenige Abbildung mit [mm](\lambda \cdot f)(x) = \lambda \cdot f(x)[/mm] für jeweils alle [mm]x[/mm]. Das ist die punktweise Definition.
2. Zwei Abbildungen [mm]f,g[/mm] mit demselben Definitions- und Zielbereich sind gleich dann und nur dann, wenn [mm]f(x) = g(x)[/mm] für alle [mm]x[/mm] gilt.
Jetzt untersuche die Wirkung der Abbildungen auf [mm]x[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 03.01.2013 | | Autor: | Rated-R |
Vielen Dank für deine Antwort!
> Du bist auf dem richtigen Weg. Du mußt dich jetzt nur
> daran erinnen, wie Addition und skalare Multiplikation bei
> Abbildungen definiert sind, nämlich punktweise, und wann
> zwei Abbildungen gleich sind:
>
> 1. Sind [mm]f,g \in V[/mm] und [mm]\lambda \in \mathbb{R}[/mm], so versteht
> man unter [mm]f+g[/mm] diejenige Abbildung mit [mm](f+g)(x) = f(x) + g(x)[/mm]
> und unter [mm]\lambda \cdot f[/mm] diejenige Abbildung mit [mm](\lambda \cdot f)(x) = \lambda \cdot f(x)[/mm]
> für jeweils alle [mm]x[/mm]. Das ist die punktweise Definition.
Ich bin mir nicht sicher wie mir das weiterhilft,
wenn ich jetzt die gleichungen gleichsetze:
[mm] (\lambda_1*f_1+\lambda_2*f_2)\circ\phi=\lambda_1*(f_1\circ\phi)+\lamda_2*(f_2\circ\phi)
[/mm]
[mm] ((\lambda_1*f_1)(x)+(\lambda_2*f_2)(x))\circ\phi=(\lambda_1*f_1)(x)\circ \phi+(\lambda_2*f_2)(x)\circ\phi
[/mm]
Ist diese Umformung erlaubt?
>
> 2. Zwei Abbildungen [mm]f,g[/mm] mit demselben Definitions- und
> Zielbereich sind gleich dann und nur dann, wenn [mm]f(x) = g(x)[/mm]
> für alle [mm]x[/mm] gilt.
>
> Jetzt untersuche die Wirkung der Abbildungen auf [mm]x[/mm].
Der einzige Weg der mir einfällt ist das umformen, da ich ja keine allgemeine Funktionsvorschrift habe.
gruß tom
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Du kannst natürlich nicht etwas gleichsetzen, dessen Gleichheit du gerade nachweisen willst. Ein Beweis, der das zu Beweisende zur Voraussetzung macht, ist falsch und nichtig.
Vielleicht sollte man die Behauptung einmal hinschreiben.
Zu zeigen: [mm]\left( \lambda_1 \cdot f_1 + \lambda_2 \cdot f_2 \right) \circ \varphi = \lambda_1 \cdot \left( f_1 \circ \varphi \right) + \lambda_2 \cdot \left( f_2 \circ \varphi \right)[/mm]
Um das zu zeigen, solltest du dir zunächst klarmachen, was da auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens eigentlich für Objekte stehen: Es sind Abbildungen. Sie sind auf [mm]X[/mm] definiert und bilden nach [mm]\mathbb{R}[/mm] ab. Und deren Gleichheit willst du nachweisen. Nach der Bemerkung 2. aus meinem vorigen Beitrag ist also nachzuweisen, daß beide Abbildungen auf jedem [mm]x \in X[/mm] dieselbe Wirkung haben. Dann sind sie gleich.
Deshalb nimmt man sich jetzt solch ein [mm]x \in X[/mm] und studiert die Wirkung der beiden Abbildungen. Beginnen wir mit der Abbildung auf der linken Seite:
[mm]\left( \left( \lambda_1 \cdot f_1 + \lambda_2 \cdot f_2 \right) \circ \varphi \right)(x)[/mm]
Bei einer Verkettung [mm]\circ[/mm] wird aber der Wert der inneren Funktion an der Stelle [mm]x[/mm] in die äußere Funktion eingesetzt:
[mm]=\underbrace{\left( \lambda_1 \cdot f_1 + \lambda_2 \cdot f_2 \right)}_{\mbox{äußere Funktion}} \left( \varphi(x) \right)[/mm]
Die äußere Funktion entsteht durch Addition zweier Funktionen (das Pluszeichen ist das Funktionsadditionspluszeichen). Diese ist punktweise definiert (siehe 1. aus meinem vorigen Beitrag). Weil der "Punkt" jetzt das [mm]\varphi(x)[/mm] ist, geht es so weiter:
[mm]= \left( \lambda_1 \cdot f_1 \right)\left( \varphi(x) \right) + \left( \lambda_2 \cdot f_2 \right)\left( \varphi(x) \right)[/mm]
Das Pluszeichen hier ist jetzt das Pluszeichen von [mm]\mathbb{R}[/mm]. Jetzt löse auch noch die skalare Multiplikation gemäß der punktweisen Definition auf. Dann wirst du ganz auf der Ebene von [mm]\mathbb{R}[/mm] angelangt sein. Denn die dann noch vorkommenden Additionen und Multiplikationen sind reelle Operationen.
Dann mußt du schließlich noch nachweisen, daß auch die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung von ganz oben, wenn man [mm]x[/mm] einsetzt, diesen reellen Zahlenterm liefert. Hast du das gezeigt, dann haben beide Abbildungen auf jedem [mm]x[/mm] dieselbe Wirkung, d.h. dieselbe reelle Zahl als Wert, und sind somit als Abbildungen gleich. Und das war zu zeigen.
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