Verkettung u. Integralrechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktionen g und h seien durch g(x)= 4x - 3 und h(x) = [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] definiert.
a) Bilden Sie die Verkettung f(x) = h(g(x)) sowie ihre Ableitung und eine Stammfunktion
b) Sei jetzt [mm] g_{c}(x)= [/mm] cx-3 und [mm] f_{c}(x) [/mm] = [mm] h(g_{c}(x)). [/mm] Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{0}^{\bruch{2}{c}}{f_{c}(x) dx} [/mm] und stellen Sie fest, für welches c es den Wert 10 hat. |
Guten Abend,
Ist meine Lösung für:
a)
f(x) = [mm] \bruch{1}{(4*x-3)^2}
[/mm]
f'(x) = - [mm] \bruch{16*x^2 - 24}{(4*x-3)^2}
[/mm]
F(x)= - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] (4x-3)^{-1}
[/mm]
= - [mm] \bruch{1}{16*x+12}
[/mm]
und
b)
10= [- [mm] \bruch{1}{c^2 * x - 3*c} [/mm] ] Integral von 0 bis [mm] \bruch{2}{c}
[/mm]
c = - [mm] \bruch{1}{20}
[/mm]
richtig?
Mit freundlichen Grüßen
expositiv
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Ich habe bei der Ableitung in Aufgabe a) die Reziprokenregel angewandt.
f(x) = [mm] \bruch{1}{v(x)}
[/mm]
f'(x) = - [mm] \bruch{v'(x)}{v^2(x)}
[/mm]
also wäre es bei der Funktion:
f(x) = [mm] \bruch{1}{(4x-3)^2} [/mm] (damit mir die Ableitung leicht fällt multiplizier ich aus)
f'(x) [mm] \bruch{32*x-24}{(4*x - 3)^4}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 So 20.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo expositiv,
erst schreibst Du richtig:
> > f(x) = [mm]\bruch{1}{v(x)}[/mm]
> > f'(x) = [mm] \blue{-}[/mm] [mm]\bruch{v'(x)}{v^2(x)}[/mm]
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > also wäre es bei der Funktion:
> >
> > f(x) = [mm]\bruch{1}{(4x-3)^2}[/mm] (damit mir die Ableitung
> > leicht fällt multiplizier ich aus)
> > f'(x) [mm]\bruch{32*x-24}{(4*x - 3)^4}[/mm]
...und dann fehlt das "Minus", das ich oben blau markiert hatte.
Übrigens fällt die Ableitung durch das Ausmultiplizieren nicht leichter, sondern schwerer. Das ist bei der Quotientenregel fast immer so, weil man übersieht, was noch zu kürzen wäre, bevor man zusammenfasst.
Faustregel: steht im Nenner ein Polynom, so wird es (ganz!) in der Ableitung quadriert im Nenner stehen, und in jeder weiteren (trotz der Quadratregel oben) nur im Exponenten um eins erhöht. Die 22. Ableitung Deiner Funktion wird also den Nenner [mm] (4x-3)^{23} [/mm] haben. Alle anderen Zufügungen des Faktors sind dann zwischendurch gekürzt worden.
Wie bei allen Faustregeln ist auch hier etwas Vorsicht geboten, aber mit der Zeit bekommst Du sicher ein Gefühl dafür.
> Aber hier kann man noch durch [mm](4x-3)_[/mm] kürzen!
> Klammere im Zähler zunächst [mm]8_[/mm] aus.
Eben. Das könntest Du Dir sparen, wenn Du nicht ausgerechnet hättest.
Aber vor allem: da gehört noch ein Minus vor die ganze Chose!
lg
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 So 20.12.2009 | | Autor: | expositiv |
ja ich habe da ebenfalls das "=" Zeichen vergessen ... war nur ein Tippfehler.
Habe jetzt gekürzt und bekam f'(x) = - [mm] \bruch{8}{(4x-3)^3} [/mm] ... ich hatte im momentan keine Lust noch zusätzlich die Kettenregel anzuwenden und habe IN DEM FALL "einfach" ausmultipliziert 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 So 20.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo expositiv,
so siehts jetzt auch gut aus.
lg
rev
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 20.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo expositiv!
> 10= [- [mm]\bruch{1}{c^2 * x - 3*c}[/mm] ] Integral von 0 bis [mm]\bruch{2}{c}[/mm]
Die Stammfunktion stimmt. Aber Du hast hier wahrscheinlich die Grenze [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ vergessen einzusetzen.
Denn hier gilt $F(0) \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ !
> c = - [mm]\bruch{1}{20}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Folgefehler!
Ich habe erhalten: $c \ = \ [mm] \bruch{1}{15}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Quotientenregel![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
