Verkettung und Surjektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 So 11.11.2018 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Die Funktionen f: A [mm] \to [/mm] B und g: B [mm] \to [/mm] C sind gegeben.
Prüfe ob gilt:
Ist f injektiv und g surjektiv, so ist g [mm] \circ [/mm] f bijektiv. |
Hallo zusammen,
ich habe für die Verkettung folgende Definition vorliegen:
f: A [mm] \to [/mm] B und g: B [mm] \to [/mm] C
Dann ist g [mm] \circ [/mm] f: A [mm] \to [/mm] C mit a [mm] \mapsto [/mm] g(f(a)).
Meine Frage ist nun, ob die Mengen C bei der Funktion g und g [mm] \circ [/mm] f identisch sein müssen.
Ich hätte ansonsten folgendes Gegenbeispiel zu der Behauptung:
f(x) = 2x mit A = B = [mm] \IR [/mm] ist injektiv
g(x) = sin(x) mit B = [mm] \IR [/mm] und C = [-1;1] ist surjektiv.
Dann ist g(f(x)) = sin(2x) mit A = [mm] \IR [/mm]
Wenn ich C = [mm] \IR [/mm] wählen würde, wäre g(f(x)) nicht surjektiv, also auch nicht bijektiv. Ist dies erlaubt, oder muss ich auch hier C = [-1;1] wählen, was ja dann bedeuten würde, dass g(f(x)) surjektiv ist.
Falls ich C = [-1;1] wählen müsste, ist mir nicht ganz klar, weshalb hier die Menge C übereinstimmen muss.
Bei den beiden Funktionen f und g tauchen als Wertemenge von f und als Defintionsmenge von g auch zweimal dieselbe Menge B auf, wobei diese Mengen nicht identisch sein müssen.
Die Wertemenge von f muss ja nur eine Teilmenge der Definitionsmenge von g sein (ansonsten würde man ja unterstellen, dass f immer surjektiv ist).
Da ich bei der Menge B somit nicht unterstellen muss, dass diese bei f und g übereinstimmt, weshalb dann bei C ?
Danke für eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 So 11.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktionen f: A [mm]\to[/mm] B und g: B [mm]\to[/mm] C sind gegeben.
> Prüfe ob gilt:
> Ist f injektiv und g surjektiv, so ist g [mm]\circ[/mm] f bijektiv.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe für die Verkettung folgende Definition vorliegen:
> f: A [mm]\to[/mm] B und g: B [mm]\to[/mm] C
> Dann ist g [mm]\circ[/mm] f: A [mm]\to[/mm] C mit a [mm]\mapsto[/mm] g(f(a)).
>
> Meine Frage ist nun, ob die Mengen C bei der Funktion g und
> g [mm]\circ[/mm] f identisch sein müssen.
>
> Ich hätte ansonsten folgendes Gegenbeispiel zu der
> Behauptung:
> f(x) = 2x mit A = B = [mm]\IR[/mm] ist injektiv
> g(x) = sin(x) mit B = [mm]\IR[/mm] und C = [-1;1] ist surjektiv.
>
> Dann ist g(f(x)) = sin(2x) mit A = [mm]\IR[/mm]
> Wenn ich C = [mm]\IR[/mm] wählen würde, wäre g(f(x)) nicht
> surjektiv, also auch nicht bijektiv. Ist dies erlaubt, oder
> muss ich auch hier C = [-1;1] wählen, was ja dann bedeuten
> würde, dass g(f(x)) surjektiv ist.
>
Du hast doch in beiden Fällen ein Gegenbeispiel. Injektiv ist die Verkettung von f und g nicht.
>
> Falls ich C = [-1;1] wählen müsste, ist mir nicht ganz
> klar, weshalb hier die Menge C übereinstimmen muss.
> Bei den beiden Funktionen f und g tauchen als Wertemenge
> von f und als Defintionsmenge von g auch zweimal dieselbe
> Menge B auf, wobei diese Mengen nicht identisch sein
> müssen.
> Die Wertemenge von f muss ja nur eine Teilmenge der
> Definitionsmenge von g sein (ansonsten würde man ja
> unterstellen, dass f immer surjektiv ist).
> Da ich bei der Menge B somit nicht unterstellen muss, dass
> diese bei f und g übereinstimmt
Doch, diese stimmen bei f und g überein.
> , weshalb dann bei C ?
Verstehe ich nicht.
Das g [mm] \circ [/mm] f im allgemeinen nicht bijektiv ist, sieht man am einfachsten im Falle A=B und f(x)=x.
>
> Danke für eure Antworten.
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 11.11.2018 | | Autor: | rubi |
Hallo Fred,
danke für deine Antwort.
Allerdings habe ich immer noch ein Verständnisproblem.
Lassen wir mal die Injektivität der Verkettung beiseite und betrachten nur die Surjektivität.
Wäre es erlaubt, wenn ich bei der Funktion g [mm] \circ [/mm] f für C = [mm] \IR [/mm] wähle und bei g für C = [-1;1] oder muss ich bei der Festlegung von C bei der Funktion g diese Menge auch bei der Verkettung 1:1 übernehmen ?
Falls ich diese übernehmen muss (da ja beide Mengen mit dem gleichen Buchstaben C bezeichnet werden), interessiert mich, weshalb dies bei B nicht so ist.
Beispiel: f(x) = [mm] x^2 [/mm] mit A= [mm] \IR [/mm] und B = [0; [mm] \infty [/mm] [
g(x) = sin(x) mit B = [mm] \IR [/mm] und C = [mm] \IR.
[/mm]
Ich kann g(f(x)) = [mm] sin(x^2) [/mm] ermitteln, weil der Wertebereich von f eine Teilmenge der Definitionsmenge von g ist.
Eigentlich dürfte man dann doch nicht beide Bereiche mit dem gleichen Buchstaben B bezeichnen.
Wenn also in meinem Beispiel die Menge B für zwei verschiedene Mengen steht, müsste dies dann nicht auch für die Menge C gelten ?
Ich hoffe, ich konnte mein Problem deutlich machen.
Viele Grüße
Rubi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Mo 12.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für deine Antwort.
> Allerdings habe ich immer noch ein Verständnisproblem.
>
> Lassen wir mal die Injektivität der Verkettung beiseite
> und betrachten nur die Surjektivität.
> Wäre es erlaubt, wenn ich bei der Funktion g [mm]\circ[/mm] f für
> C = [mm]\IR[/mm] wähle und bei g für C = [-1;1] oder muss ich bei
> der Festlegung von C bei der Funktion g diese Menge auch
> bei der Verkettung 1:1 übernehmen ?
Gegeben: f: A $ [mm] \to [/mm] $ B und g: B $ [mm] \to [/mm] $ C . Damit sind die Mengen A,B,C festgenagelt !
Damit haben wir $g [mm] \circ [/mm] f:A [mm] \to [/mm] C$ mit obigem C.
>
> Falls ich diese übernehmen muss (da ja beide Mengen mit
> dem gleichen Buchstaben C bezeichnet werden), interessiert
> mich, weshalb dies bei B nicht so ist.
Hä ? Bei B ist es genauso !
> Beispiel: f(x) = [mm]x^2[/mm] mit A= [mm]\IR[/mm] und B = [0; [mm]\infty[/mm] [
> g(x) = sin(x) mit B = [mm]\IR[/mm] und C = [mm]\IR.[/mm]
Das geht nicht. Das B in
f: A $ [mm] \to [/mm] $ B und g: B $ [mm] \to [/mm] $ C
ist das gleiche !
>
> Ich kann g(f(x)) = [mm]sin(x^2)[/mm] ermitteln, weil der
> Wertebereich von f eine Teilmenge der Definitionsmenge von
> g ist.
> Eigentlich dürfte man dann doch nicht beide Bereiche mit
> dem gleichen Buchstaben B bezeichnen.
> Wenn also in meinem Beispiel die Menge B für zwei
> verschiedene Mengen steht,
Tut es nicht ! Du verwechselst f(A) und B.
> müsste dies dann nicht auch
> für die Menge C gelten ?
>
> Ich hoffe, ich konnte mein Problem deutlich machen.
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 So 11.11.2018 | | Autor: | luis52 |
Moin, womoeglich zu schlicht gedacht ...
Setze [mm] $A=\{1,2\}$, $B=\{3,4\}$ [/mm] und [mm] $C=\{5\}$. [/mm] Sei [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ mit $f(1)=3$ und $f(2)=4$. Ferner sei [mm] $g\colon B\to [/mm] C$ mit $g(3)=5=g(4)$. Dann ist $f$ bijektiv, $g$ surjektiv, aber [mm] $g\circ [/mm] f$ ist nicht bijektiv.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 So 11.11.2018 | | Autor: | rubi |
Hallo Luis,
vielen Dank.
Damit hast du ein Beispiel gefunden, mit der die eigentliche Aufgabe beantwortet wurde.
Meine Fragen die ich grundsätzlich noch gestellt hatte bzgl. der erforderlichen Gleichheit der Mengen C bzw. B sind aber noch offen.
Viele Grüße
Rubi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Mo 12.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Luis,
>
> vielen Dank.
> Damit hast du ein Beispiel gefunden, mit der die
> eigentliche Aufgabe beantwortet wurde.
Solch ein Beispiel hast Du doch auch gefunden. Ich übrigends auch.
> Meine Fragen die ich grundsätzlich noch gestellt hatte
> bzgl. der erforderlichen Gleichheit der Mengen C bzw. B
> sind aber noch offen.
Jetzt nicht mehr, so hoffe ich. Siehe meine Antwort vor 1 Minute.
>
> Viele Grüße
> Rubi
|
|
|
|
