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Seien F: X -> Y und g: Y -> Z Abbildungen. Zeigen SIe, dass g o f injektiv (bzw. Surjektiv, bzw. bijektiv) ist, wenn f: X -> Y unf g: Y -> Z injektiv (bzw. Surjektiv, bzw. bijektiv) sind. Falls f: X -> y und g: Y -> Z bijektiv sind ,zeigen Sie zudem, dass gilt (g o f ) hoch -1 = f hoch -1 o g hoch -1. Mir fehlt hierzu der Ansatz. Muss ich das schriftlich Begründung, denn auf eine beweisende Rechnung komm ich hier nicht? Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Basti!
Hättest du mal die Suchfunktion bemüht, wären dir diese oder ähnliche Aufgaben in Hülle und Fülle begegnet.
Nun ja, ich rechne es mal vor, jedenfalls so lange ich Lust habe (denn allmählich gehen einem diese hundert Aufgaben über In- und Surjektivität ziemlich auf den Keks  ).
Es seien also $f:X [mm] \to [/mm] Y$ und $g:Y [mm] \to [/mm] Z$ zwei injektive Abbildungen. Zu zeigen ist, dass dann auch $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv ist.
Dazu seien [mm] $x_1,\, x_2 \in [/mm] X$ gewählt mit
(*) $(g [mm] \circ f)(x_1) [/mm] = (g [mm] \circ f)(x_2)$.
[/mm]
Zu zeigen ist:
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2$. [/mm]
Die Gleichung (*) bedeutet aber gerade:
[mm] $g(f(x_1)) [/mm] = [mm] g(f(x_2))$.
[/mm]
Da $g$ injektiv ist, folgt daraus:
[mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)$.
[/mm]
Da aber auch $f$ injektiv ist, ergibt sich
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Es seien also $f:X [mm] \to [/mm] Y$ und $g:Y [mm] \to [/mm] Z$ zwei surjektive Abbildungen. Zu zeigen ist, dass dann auch $g [mm] \circ [/mm] f$ surjektiv ist.
Dazu seien $z [mm] \in [/mm] Z$ beliebig gewählt. Zu zeigen ist: Es gibt eine $x [mm] \in [/mm] X$ mit
$(g [mm] \circ [/mm] f)(x) = z$.
Da $g$ surjektiv ist, gibt es aber ein $y [mm] \in [/mm] Y$ mit
$g(y)=z$.
Da $f$ surjektiv ist, gibt es weiterhin ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit
$f(x)=y$.
Ingesamt gibt es also ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit
$(g [mm] \circ [/mm] f)(x) = g(f(x)) = f(y) = z$,
was zu zeigen war.
Sind nun $f: X [mm] \to [/mm] Y$ und $g:Y [mm] \to [/mm] Z$ beide bijektiv, dann ist nach dem bereits Gezeigten auch $g [mm] \circ [/mm] f$ bijektiv.
Weiterhin gilt:
$(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \circ (f^{-1} \circ g^{-1})$
[/mm]
$= g [mm] \circ [/mm] ( f [mm] \circ (f^{-1} \circ g^{-1}))$
[/mm]
$= g [mm] \circ [/mm] ((f [mm] \circ f^{-1}) \circ g^{-1})$
[/mm]
$= g [mm] \circ (id_Y \circ g^{-1})$
[/mm]
$= g [mm] \circ g^{-1}$
[/mm]
$= [mm] id_Z$,
[/mm]
woraus die Behauptung
$(g [mm] \circ f)^{-1} [/mm] = [mm] f^{-1} \circ g^{-1}$
[/mm]
folgt.
Ich habe die Lösung jetzt noch einmal so ausführlich aufgeschrieben, damit ich beim nächsten Mal, wenn einer diese (triviale) FAQ stellt, darauf verweisen kann.
Kann das mal jemand in die Datenbank setzen? Danke.  Aber bitte ohne meine leicht genervten Zwischenkommentare...
Liebe Grüße
Stefan
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Typische Surjektivitäts- und Injektivitätssätze