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| Aufgabe | f,g: [mm] \IR \to \IR [/mm] seien 2x stetig diff'bar und F(x,y):=f(x+g(y)) für alle (x,y) [mm] \in \IR²
[/mm]
a) Man zeige : [mm] F_x F_{xy} [/mm] = [mm] F_y F_{xx}
[/mm]
b) Man bestimme alle f [mm] \in C^2(\IR) [/mm] mit f(x+f(y)) = f(x) + f(y) |
Hallo,
mit a) hatte ich soweit eigentlich keine probleme, ich hab sie nur gepostet, weil die teilaufgaben bei uns oft verknüpft sind.
für b) fehlt mir nun einfach die kreativität für einen ansatz. sicherlich erfüllt die identität das geforderte  , aber für einen tipp zum systematischen vorgehen wäre ich sehr dankbar.
gruß,
karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mi 19.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> f,g: [mm]\IR \to \IR[/mm] seien 2x stetig diff'bar und
> F(x,y):=f(x+g(y)) für alle (x,y) [mm]\in \IR²[/mm]
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> a) Man zeige : [mm]F_x F_{xy}[/mm] = [mm]F_y F_{xx}[/mm]
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> b) Man bestimme alle f [mm]\in C^2(\IR)[/mm] mit f(x+f(y)) = f(x) +
> f(y)
> Hallo,
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> mit a) hatte ich soweit eigentlich keine probleme, ich hab
> sie nur gepostet, weil die teilaufgaben bei uns oft
> verknüpft sind.
>
> für b) fehlt mir nun einfach die kreativität für einen
> ansatz. sicherlich erfüllt die identität das geforderte
> , aber für einen tipp zum systematischen vorgehen wäre
> ich sehr dankbar.
Nehmen wir an für f $ [mm] \in C^2(\IR) [/mm] $ gilt
f(x+f(y)) = f(x) + f(y)
Die folgenden Gleichungen gelten für alle x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
Differenziert man das nach x, so erhält man:
(1) f'(x+f(y)) = f'(x)
Differentiation nach y liefert:
(2) f'(x+f(y))f'(y) = f'(y)
Mit (1) folgt:
(3) f'(x)f'(y) = f'(y)
Differenziert man (3) nach x, so ergibt sich:
(4) f''(x)f'(y) = 0
Differenziert man (3) nach y, so ergibt sich:
(5) f'(x)f''(y)=f''(y)
Vertauscht man in (5) die Rollen von x und y , so hat man:
(6) f'(y)f''(x)=f''(x)
Zusammen mit (4) ergibt das
f''(x) =0
Somit gibt es c, d [mm] \in \IR [/mm] mit:
f(x) =cx+d.
Nun überzeuge Dich davon, dass für die gesuchte Funktion f nur in Frage kommt:
f(x) = 0 für x [mm] \in \IR [/mm]
oder
f(x) =x für x [mm] \in \IR
[/mm]
FRED
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> gruß,
> karl
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