Verknüpfungen: Auflösbarkeit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Do 31.12.2009 | | Autor: | soloking |
Hallo!
Unser Prof. meinte vor einer Woche, noch kurz ein Thema anschneiden zu müssen, welches für meinen Studiengang zwar absolut keine Relevanz hat (und auch nicht Klausurrelevant ist), aber verstehen würde ich es trotzdem gerne.
Es geht um Verknüpfungen, speziell um deren Eigenschaften.
Eigenschaften wie kommutativ, assoziativ, idempotent, Neutralelement, inverses Element und so weiter sind mir alle klar.
Jetzt gibt es da noch eine Eigenschaft names auflösbar, und mit der hab ich Probleme. Google spuckt zwar einiges aus, aber ehrlich gesagt ist das alles schon viel tiefer in der Materie als ich es brauche.
Die Definition, die ich aus der Vorlesung habe:
Eine Verknüpfung * in der Menge M heißt auflösbar, wenn für alle a, b [mm] \in [/mm] M ein x und ein x' aus M existiert, so dass gilt:
a * x = b [mm] \wedge [/mm] x' * a = b
Ich habe mir dann zusammengereimt, dass x' = x und die Verknüpfung an sich kommutativ sein muss, aber das hätte man dann sicher auch einfacher schreiben können, von dem her gehe ich nicht davon aus, dass das so stimmt. Kann man das nicht einfacher erklären, eventuell an einem Beispiel?
Danke schonmal, und einen guten Rutsch!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Do 31.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Jetzt gibt es da noch eine Eigenschaft names auflösbar,
> und mit der hab ich Probleme. Google spuckt zwar einiges
> aus, aber ehrlich gesagt ist das alles schon viel tiefer in
> der Materie als ich es brauche.
>
> Die Definition, die ich aus der Vorlesung habe:
>
> Eine Verknüpfung * in der Menge M heißt auflösbar, wenn
> für alle a, b [mm]\in[/mm] M ein x und ein x' aus M existiert, so
> dass gilt:
> a * x = b [mm]\wedge[/mm] x' * a = b
>
> Ich habe mir dann zusammengereimt, dass x' = x und die
> Verknüpfung an sich kommutativ sein muss, aber das hätte
> man dann sicher auch einfacher schreiben können, von dem
> her gehe ich nicht davon aus, dass das so stimmt. Kann man
> das nicht einfacher erklären, eventuell an einem
> Beispiel?
Poste doch einfach mal deine Beweise, dann werden wir ja sehen, ob sie richtig sind.
Beachte, dass man ansonsten für die Verknüpfung nichts weiter gegeben hat. Nicht mal die Assoziativität. Das macht so ziemlich alle Umformungen, die man so auf den ersten Blick machen möchte, wertlos.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Do 31.12.2009 | | Autor: | soloking |
Hallo Merle23!
Danke schonmal für deine Antwort. Aber ich habe mich glaube ich missverständlich ausgedrückt.
Damit du weißt, auf welchem Level ich mich bewege: ich studiere Sport und Erkunde (!) und mache das mit Mathe nur nebenbei zum anrechnen lassen, da mir Mathe damals in der Oberstufe eigentlich ganz gut lag. Das Level ansich ist sehr oberflächlich.
Du als Mathestudent wolltest vermutlich eine perfekte Antwort liefern, aber den Begriff an sich grob zu verstehen reicht völlig.
Was ich damit sagen will: ich hab da leider keine Beweise dazu, die von mir geschriebene Vermutung war nur ein Versuch, die mathematische Definition des Profs zu interpretieren.
Damals mit den Eigenschaften von Relationen (Transitivität, antisymmetrie usw.) war es das gleiche, da habe ich auch Google zu Hilfe nehmen müssen. Jetzt im Nachinein ist es logisch und einfach, aber bis man es mal kapiert hat.
Mit dieser Auflösbarkeit wollte ich auch Google befragen, da kommen dann aber noch weitere Definitionen und ellenlange Texte mit Untergruppen usw.
Ich hatte gehofft, man kann diese Auflösbarkeit einfach an einem Beispiel zeigen, so wie es bei Transitivität z.B. auch der Fall ist. Ich habe im Gegensatz zu den anderen behandelten Eigenschaften von Verknüpfungen noch nicht ansatzweise verstanden, was aufösbar eigentlich bedeutet.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Do 31.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
Ja gut, also die anschauliche Erklärung ist einfach das jedes Element von jedem Element aus "erreicht" werden kann.
Beispiel: Du hast die Gruppe [mm] \IZ [/mm] der ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition als Verknüpfung.
Jetzt ist die Frage, ob man z.b. die 6 von der 2 aus "erreichen" kann mit der Addition. Und siehe da, man kann: 2 + 4 = 6. Man kann auch die 2 von der 6 aus "erreichen": 6 + (-4) = 2.
Die Addition in [mm] \IZ [/mm] ist also auflösbar.
Anderes Beispiel wo das nicht geht: Wir nehmen die natürlichen Zahlen [mm] \IN [/mm] mit der ganz normalen Addition.
Kann man sich nun wieder fragen, ob man die 6 von der 2 aus "erreichen" kann. Die Antwort ist dieselbe wie oben; man kann: 2 + 4 = 6. Aber man kann die 2 nicht von der 6 aus "erreichen": Denn es gibt keine natürliche Zahl n, so dass 6 + n = 2 wäre.
Die Addition in [mm] \IN [/mm] ist also nicht auflösbar.
LG, Alex
edit: In der Definition wird ja zum Einen das x von rechts an das a verknüpft und zum Anderen das x' von rechts an das a verknüpft. Das hat den Grund, dass eine beliebige Verknüpfung nicht kommutativ sein braucht. Und man fordert in der Definition deswegen einfach dann beides.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Do 31.12.2009 | | Autor: | soloking |
Super, Danke für die Erklärung!
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