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| Aufgabe | Sei q [mm] $\in \IC [X_0, X_1, X_2]$ [/mm] eine beliebige quadratische Form vom Rang 3.
Zeigen Sie, dass die Nullstellenmenge [mm] $\{q=0\} \subset \IP [/mm] ^2$ zu [mm] $\IP [/mm] ^1$ isomorph ist. |
Hallo zusammen,
ich habe den Tipp bekommen, dass ich die lineare Transformation von [mm] $\IP [/mm] ^2$ verwenden soll... leider versteh ich nicht ganz wie das geht, ich weiß nur, dass man das dann auf den Spezialfall [mm] q=X_0^2-X_1X_2 [/mm] zurückführen kann.
Kann mir jemand erklären warum?
In der Vorlesung haben wir gemacht:
Wenn [mm] $\nu [/mm] _d$ die Veronese-Einbettung ist, dann gilt: [mm] $\nu [/mm] _d [mm] (\IP [/mm] ^n) [mm] \subseteq \IP [/mm] ^N $ ist projektive Varietät, die zu [mm] $\IP [/mm] ^n$ isomorph ist.
Das wäre in diesem Fall dann n=2, d=2 und N= [mm] $\vektor{n+d \\ n}$ [/mm] = 5, oder?
Das würde aber heißen, dass [mm] $\nu [/mm] _2 [mm] (\IP [/mm] ^2) [mm] \subseteq \IP [/mm] ^5 [mm] \cong \IP^2$...
[/mm]
Aber ich soll zeigen, dass es isomorph zu [mm] $\IP^1$ [/mm] ist...!!!
Wo liegt mein Fehler?
Bin echt am verzweifeln....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Mi 16.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei q [mm]\in \IC [X_0, X_1, X_2][/mm] eine beliebige quadratische
> Form vom Rang 3.
> Zeigen Sie, dass die Nullstellenmenge [mm]\{q=0\} \subset \IP ^2[/mm]
> zu [mm]\IP ^1[/mm] isomorph ist.
>
> ich habe den Tipp bekommen, dass ich die lineare
> Transformation von [mm]\IP ^2[/mm] verwenden soll... leider versteh
> ich nicht ganz wie das geht, ich weiß nur, dass man das
> dann auf den Spezialfall [mm]q=X_0^2-X_1X_2[/mm] zurückführen
> kann.
> Kann mir jemand erklären warum?
> In der Vorlesung haben wir gemacht:
> Wenn [mm]\nu _d[/mm] die Veronese-Einbettung ist, dann gilt: [mm]\nu _d (\IP ^n) \subseteq \IP ^N[/mm]
> ist projektive Varietät, die zu [mm]\IP ^n[/mm] isomorph ist.
> Das wäre in diesem Fall dann n=2, d=2 und N= [mm]\vektor{n+d \\ n}[/mm]
> = 5, oder?
> Das würde aber heißen, dass [mm]\nu _2 (\IP ^2) \subseteq \IP ^5 \cong \IP^2[/mm]...
>
> Aber ich soll zeigen, dass es isomorph zu [mm]\IP^1[/mm] ist...!!!
> Wo liegt mein Fehler?
Du gehst voellig falsch an die Aufgabe heran. Lies dir nochmal die Aufgabenstellung durch.
Da steht: zeige, dass A isomorph zu B ist.
Was du tust, ist ein C zu konstruieren was isomorph zu B ist.
Das sollst du aber gar nicht.
Was weisst du ueber Normalformen von quadratischen Formen? Kannst du damit etwas tun, etwa einen Automorphismus von [mm] $\IP^2$ [/mm] bequemen der [mm] $\{ q = 0 \}$ [/mm] in etwas einfacheres ueberfuehrt?
(Weisst du wie die Automorphismen von [mm] $\IP^2$ [/mm] aussehen?)
LG Felix
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Die Normalform der quadratischen Form ist [mm] x^2 [/mm] -px +q ...
aber wie die Automorphismen aussehen weiß ich nicht...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 18.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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