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Forum "Rationale Funktionen" - Verschachtelte Funktion g(f(x)
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Verschachtelte Funktion g(f(x): Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 Sa 04.05.2013
Autor: alinus

Hallo

ich habe zwei gebrochen rationale Funktionen gegeben:

f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

und

g(x) = [mm] \bruch{x}{x^2 - 4} [/mm]

Nun soll bei der Funktion f(x) für x die Funktion g(x) eingesetzt werden: f(g(x)).
Das Ergebnis lautet:

f(g(x)) = [mm] \bruch{x^2 - 4}{x} [/mm]

Mein Lösungsansatz:

f(g(x)) = [mm] \bruch{1}{\bruch{x}{x^2 - 4}} [/mm]

Kann ich das noch irgendwie umformen oder habe ich g(x) für x falsch eingesetzt?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Verschachtelte Funktion g(f(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Sa 04.05.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo
>  
> ich habe zwei gebrochen rationale Funktionen gegeben:
>  
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> und
>
> g(x) = [mm]\bruch{x}{x^2 - 4}[/mm]
>
> Nun soll bei der Funktion f(x) für x die Funktion g(x)
> eingesetzt werden: f(g(x)).
>  Das Ergebnis lautet:
>  
> f(g(x)) = [mm]\bruch{x^2 - 4}{x}[/mm]
>  
> Mein Lösungsansatz:
>  
> f(g(x)) = [mm]\bruch{1}{\bruch{x}{x^2 - 4}}[/mm]
>  
> Kann ich das noch irgendwie umformen oder habe ich g(x)
> für x falsch eingesetzt?


Falls wirklich f(g(x)) gefragt ist - und nicht g(f(x)), wie
du in der Überschrift geschrieben hast (!),
dann ist dies natürlich richtig. Als Ergebnis ist dann
aber eindeutig der vereinfachte Term vorzuziehen.
Zur Erinnerung:
"Man dividieret durch einen Bruch, indem man ... ??"

LG ,  Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Verschachtelte Funktion g(f(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:44 Sa 04.05.2013
Autor: alinus

Danke für die Antwort.

Das g(f(x) in der Überschrift war nur als Beispiel genannt.
Ich habe es nun auch auflösen können :-)

Bezug
                
Bezug
Verschachtelte Funktion g(f(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Sa 04.05.2013
Autor: alinus

Wenn ich das ganze umdrehe und g(f(x)) haben möchte komme ich auch nicht auf die Lösung von:

g(f(x)) =  [mm] \bruch{x}{1-4x^2} [/mm]

Mein Ansatz:

g(f(x)) = [mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{(\bruch{1}{x})^2-4 } [/mm]

Kann ich hier auch mit dem Kehrwert Multiplizieren?:

[mm] \bruch{\bruch{1}{x} * \bruch{1}{(\bruch{1}{x})^2-4 } }{(\bruch{1}{x})^2-4 * \bruch{1}{(\bruch{1}{x})^2-4 } } [/mm]

Ich komme leider nie auf das richtige Ergebnis.

Bezug
                        
Bezug
Verschachtelte Funktion g(f(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Sa 04.05.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Wenn ich das ganze umdrehe und g(f(x)) haben möchte komme
> ich auch nicht auf die Lösung von:

>

> g(f(x)) = [mm] \bruch{x}{1-4x^2}[/mm]

>

> Mein Ansatz:

>

> g(f(x)) = [mm]\bruch{\bruch{1}{x}}{(\bruch{1}{x})^2-4 }[/mm]

>

> Kann ich hier auch mit dem Kehrwert Multiplizieren?:

Prinzipiell schon, jedoch
>

> [mm]\bruch{\bruch{1}{x} * \bruch{1}{(\bruch{1}{x})^2-4 } }{(\bruch{1}{x})^2-4 * \bruch{1}{(\bruch{1}{x})^2-4 } }[/mm]

>

das hier ist falsch.

> Ich komme leider nie auf das richtige Ergebnis.

Ich würde den ganzen Term einfach mit [mm] x^2 [/mm] erweitern, das geht wesentlich einfacher.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Verschachtelte Funktion g(f(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Sa 04.05.2013
Autor: alinus

Wenn ich den Term mit [mm] x^2 [/mm] erweiter klappt das wunderbar, Danke!

Wie kann ich erkennen, dass es sinnvoll ist den Term mit [mm] x^2 [/mm] zu erweitern?

Und warum ist folgendes falsch?:

[mm] \bruch{\bruch{1}{x} \cdot{} \bruch{1}{(\bruch{1}{x})^2-4 } }{(\bruch{1}{x})^2-4 \cdot{} \bruch{1}{(\bruch{1}{x})^2-4 } } [/mm]

Ich erweitere den Bruch doch nur um den Nenner weg zu bekommen.

Bezug
                                        
Bezug
Verschachtelte Funktion g(f(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Sa 04.05.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Wenn ich den Term mit [mm]x^2[/mm] erweiter klappt das wunderbar,
> Danke!

>

> Wie kann ich erkennen, dass es sinnvoll ist den Term mit
> [mm]x^2[/mm] zu erweitern?

>

> Und warum ist folgendes falsch?:

>

> [mm]\bruch{\bruch{1}{x} \cdot{} \bruch{1}{(\bruch{1}{x})^2-4 } }{(\bruch{1}{x})^2-4 \cdot{} \bruch{1}{(\bruch{1}{x})^2-4 } }[/mm]

>

Weil notwendige Klammern fehlen. So:

[mm]\bruch{\bruch{1}{x} \cdot{} \bruch{1}{(\bruch{1}{x})^2-4 } }{\left((\bruch{1}{x})^2-4\right) \cdot{} \bruch{1}{(\bruch{1}{x})^2-4 } }[/mm]

wäre es richtig. Wenn man das vereinfacht bekommt man halt

[mm] \frac{1}{ \frac{1}{x^3}- \frac{4}{x}}[/mm]

und das enthält ja immer noch Doppelbrüche.

Man kann auch nicht für alles i der Mathematik feste Regeln angeben. Auf deine Frage, wie man erkennen kann, dass Multiplikation mit [mm] x^2 [/mm] hier weiterhilft kann ich nur sagen: weil ich gesehen habe, dass dann alle Doppelbrüche verschwinden, habe ich das geraten. Es braucht also auch Gespür und Kreativität, und nicht immer nur das berüchtigte Schema-F. ;-)


Gruß, Diophant
 

Bezug
                                                
Bezug
Verschachtelte Funktion g(f(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:00 Sa 04.05.2013
Autor: alinus

Ein Schema-F hatte ich auch nicht erwartet eher Indikatoren oder so etwas in der Art, aber deine Antwort sagt schon alles aus. Besten Dank nochmal für die schnellen Antworten! :-)

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