Verschachtelte Quantoren < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=2684872096#post2684872096
Hallo,
ich bin im 1. Semester an der HS Karlsruhe und wir behandeln in Mathe gerade Prädikatenlogik.
Ich habe ein kleines Zettelchen (http://imageshack.us/photo/my-images/833/chemieonline.png/) geschrieben, in dem ich mir festhalten will, was der Unterschied zwischen
En: (Ax: 3x = n) (das ist FALSCH)
und
Ax: (En: 3x = n) (das ist WAHR)
ist.
Könnt ihr mein Zettelchen kurz überfliegen und mir sagen, ob meine Formulierungen richtig sind? Ich versuche immer Erklärungen in eigenen Worten festzuhalten, nur möchte ich auch immer sicher gehen, dass die auch mathematisch nützlich und korrekt sind.
Eine weitere Frage:
Bedeutet Ax:Ay: Bedingung(y,x), "Für alle x und alle y gilt Bedingung(x,y)"?
Vielen Dank!
nevermind
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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moin nevermind,
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
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> http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=2684872096#post2684872096
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> Hallo,
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> ich bin im 1. Semester an der HS Karlsruhe und wir
> behandeln in Mathe gerade Prädikatenlogik.
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> Ich habe ein kleines Zettelchen
> (http://imageshack.us/photo/my-images/833/chemieonline.png/)
> geschrieben, in dem ich mir festhalten will, was der
> Unterschied zwischen
>
> En: (Ax: 3x = n) (das ist FALSCH)
Versuche bitte zum besseren Verständnis die mathematischen Zeichen hier im Forum auch wirklich so zu schreiben wie sie in Wirklichkeit aussehen.
Dafür gibt es unter dem Eingabefenster die häufigsten Zeichen, deine sind sicher auch dabei. ;)
> und
>
> Ax: (En: 3x = n) (das ist WAHR)
>
> ist.
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> Könnt ihr mein Zettelchen kurz überfliegen und mir sagen,
> ob meine Formulierungen richtig sind? Ich versuche immer
> Erklärungen in eigenen Worten festzuhalten, nur möchte
> ich auch immer sicher gehen, dass die auch mathematisch
> nützlich und korrekt sind.
Wenn ihr die Quantoren genau so gelernt habt möchte ich dir nicht sagen, dass das falsch ist, aber du solltest folgende Schreibweise auf jeden Fall auch kennen:
[mm] $\forall [/mm] x$ und [mm] $\exists [/mm] n$.
Diese tauchen doch recht oft auf.
Also kontrolliere am besten nochmal, ob ihr die Quantoren wirklich genau so gelernt habt.
Falls ja benutze sie auch weiter so, aber du musst immer (vor allem wenn du mathematische Texte aus anderen Quellen liest) im Hinterkopf behalten, dass es auch noch die anderen gibt.
Nun aber zum Inhalt des Zettels:
[mm] $\exists$ [/mm] steht für "es gibt ein".
Es könnten mehrere sein, es könnten auch "einige" sein, aber es darf auch gern nur ein einziges Element sein.
Deine Formulierung "einige" vermittelt aber den Eindruck, dass es mehr als eins sein muss.
Dann ist bei Quantoren zumeist noch eine Bedingung dabei.
Also sowas wie [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR \exists [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] 3x = n$
Deine Aussagen könnten jeweils wahr oder falsch sein, jenachdem aus welchen Zahlenbereichen x und n stammen.
Zu guter Letzt werden Quantoren von links nach rechts gelesen.
Ich hab bisher noch keine Klammern bei Quantoren gesehen, aber da die Klammern dem "von links nach rechts" nicht widersprechen sondern es nur bekräftigen stören sie hier nicht weiter.^^
Also:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN \exists [/mm] x [mm] \in \IR: [/mm] 3x=n$
Das heißt also zu jedem n findest du ein x.
[mm] $\exists [/mm] n [mm] \in \IN \forall [/mm] x [mm] \in \IR: [/mm] 3x = n$
Das wiederum heißt es gibt ein n, sodass für alle x gilt...
Das ganze geht auch mit längeren Ketten:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN \exists [/mm] m [mm] \in \IN \forall [/mm] o [mm] \in \IN, [/mm] o>m: o>n$
Das sieht jetzt auf den ersten Blick böse aus aber ganz brav von links nach rechts gelesen steht da:
Für alle natürlichen Zahlen n finden wir eine weitere natürliche Zahl m, sodass alle natürlichen Zahlen die größer sind als dieses m (hier o genannt) auch größer sind als n.
Dass wir zu jedem n ein solches m finden ist nicht weiter schwer, wir könnten einfach m = n+1 wählen, denn dann sind alle Zahlen die größer als m sind auch größer als n.
Wie du bei dem o siehst kann man auch mehrere Bedingungen hinter einen Quantor schreiben.
> Eine weitere Frage:
>
> Bedeutet Ax:Ay: Bedingung(y,x), "Für alle x und alle y
> gilt Bedingung(x,y)"?
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: B(y,x)$ heißt "für alle x und für alle y", ja.
Schreibt man kurz auch manchmal als [mm] $\forall [/mm] x,y$
Was vielleicht noch interessant zu wissen ist, da es nicht sofort klar ist:
[mm] $\exists$ [/mm] setzt voraus, dass es mindestens ein Element gibt.
[mm] $\forall$ [/mm] könnte aber auch stimmen, wenn es garkein Element gibt.
Also zum Beispiel dies wäre eine vollkommen richtige Aussage:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \not=n \exists [/mm] m [mm] \in \IN, [/mm] m = m+1$
Der hintere Teil besagt "es gibt eine natürliche Zahl m, die gleich ihrem Nachfolger ist.
Dieser Teil an sich ist falsch.
Allerdings findest du zu jedem n das ungleich sich selbst ist ein solches m, einfach da es kein n gibt das ungleich sich selbst ist.
Mein Prof hat dazu ganz trocken gesagt: "Gib mir ein Element, das die erste Bedingung erfüllt, und ich gebe dir eins, das die zweite erfüllt."
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen und habe dich nicht noch weiter verwirrt.
MfG
Schadowmaster
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