Verschiebungssatz < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi.
Wieso wendet man bei der Aufgabe b) nicht den Verschiebungssatz an? Ich würde die Funktion [mm] t^{2} [/mm] nehmen, davon die Laplace-Transformierte und dann mit einer Verschiebung um 1 und einer Dämpfung mit [mm] e^{-2t}. [/mm] Damit komme ich aber auf eine komplett andere Lösung als durch das Ausmultiplizieren der Klammer. Wodurch kommt das?!
[mm] \bruch{2 e^{-s}}{ (s+2)^{2}}
[/mm]
ciao, Mike.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Mi 04.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mike!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi.
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> Wieso wendet man bei der Aufgabe b) nicht den
> Verschiebungssatz an? Ich würde die Funktion [mm]t^{2}[/mm] nehmen,
> davon die Laplace-Transformierte und dann mit einer
> Verschiebung um 1 und einer Dämpfung mit [mm]e^{-2t}.[/mm] Damit
> komme ich aber auf eine komplett andere Lösung als durch
> das Ausmultiplizieren der Klammer. Wodurch kommt das?!
>
> [mm]\bruch{2 e^{-s}}{ (s+2)^{2}}[/mm]
Der Verschiebungssatz gilt für Verschiebungen im Zielraum. Wenn du die Funktion im Originalraum verschiebst, ändert sich die untere Grenze der Integration. Das geht also nur für Funkionen, die in dem Bereich zwischen alter und neuer unterer Grenze 0 sind.
Viele Grüße
Rainer
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Ok danke. Gilt das immer bei kausalen Funktionen? Weil wir das in Etechnik immer benutzen ohne uns großartig Gedanken über Ziel- und Originalraum zu machen :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 04.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mike!
> Ok danke. Gilt das immer bei kausalen Funktionen? Weil wir
> das in Etechnik immer benutzen ohne uns großartig Gedanken
> über Ziel- und Originalraum zu machen :)
Mit kausalen Funktionen meinst du solche, die für $t<0$ 0 sind, oder?
In der Laplacetransformation einer solchen Funktion:
[mm] \integral_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt [/mm]
kannst du die untere Integrationsgrenze ja durch eine beliebige negative reelle Zahl ersetzen, ohne dass sich etwas ändert. Daher ist
[mm] \mathcal{L}(f(t-a)) = \integral_{0}^{\infty} f(t-a) e^{-st} dt = e^{-sa} \integral_{0}^{\infty} f(t-a) e^{-s(t-a)} dt = e^{-sa}\integral_{-a} ^{\infty} f(t) e^{-st} dt[/mm]
für $a>0$ gerade [mm] $e^{-sa} \mathcal{L}(f(t))$.
[/mm]
Für $a<0$ ist das falsch.
Sieh auch ![[]](/images/popup.gif) hier!
Viele Grüße
Rainer
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