Verschiedene Ableitungen Teil2 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Do 05.11.2009 | | Autor: | rem |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie [mm]f^{(0)[/mm] bis [mm]f^{(3)}[/mm] von [mm]f(x)=sin^{2}(x)-cos^{2}(x)[/mm]
(a) als Funktion (b) speziell im Punkt [mm]x_{0}=\frac{\pi}{4}[/mm] |
| Aufgabe 2 | (2)
Bestimmen Sie die ersten Ableitungen folgender Funktionen
(a) [mm]f(x)=a^{x}[/mm] (b)[mm]f(x)=a^{x^{3}}[/mm] (c) [mm] f(x)=x^{ln(x)}
[/mm]
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| Aufgabe 3 | Bestimmen Sie die ersten Ableitungen folgender Funktionen
(a)[mm]f(x)=x^{x}[/mm] (b)[mm]f(x)=(2^{x})^{2} [/mm](c)[mm]f(x)=2^{2^{x}}[/mm] |
Hallo
Hier die nächsten Übungsaufgaben für dich Tipps sowie eine Begutachtung benötige:
ad Aufgabe 1)
Zu allererst einmal setze ich für [mm]sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}[/mm] sowie
[mm]cos^{2}(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}[/mm] ein. Als Ergebnis erhalte ich [mm]f(x)=-cos(2x)[/mm].
Danach leite ich ab:
(a)
[mm]f^{'}(x)=sin(2x)*2[/mm]
[mm]f^{''}(x)=cos(2x)*2[/mm]
[mm]f^{'''}(x)=-sin(2x)*2[/mm]
(b)
Hier bin ich mir nicht ganz sicher! Wenn ich [mm]2x[/mm] durch [mm]\frac{\pi}{4}[/mm] ersetze, erhalte ich doch
bei jeder Ableitung 0!? Oder verstehe ich diese Aufgabe falsch...
[mm]f^{'}(x)=sin(\frac{\pi}{2})*0[/mm]
[mm]f^{''}(x)=cos(\frac{\pi}{2})*0[/mm]
[mm]f^{'''}(x)=-sin(\frac{\pi}{2})*0[/mm]
ad Aufgabe 2)
(a)
Ganz "normal" laut Formelsammlung [mm]a^{x}\rightarrow a^{x}ln(a)[/mm]
(b)
[mm]f^{'}(x)=(3x^{2}ln(a^{x^{3}})+x^{3}\frac{a^{x^{3}}}{a^{x^{3}}})a^{x^{3}}[/mm]
(c)
[mm]f^{'}(x)=\frac{1}{x}*ln(x^{ln(x)})+ln(x)\frac{x^{ln(x)}ln(x)}{x^{ln(x)}})x^{ln(x)}[/mm]
ad Aufgabe 3)
Hier will ich zuerst eigentlich nur wissen, ob ich die letzten beiden Funktionen auch wie folgt betrachten und dann ableiten kann?
(b) [mm]f(x)=(2^{x})^{2} \rightarrow 2^{x^{2}}[/mm]
(c) [mm]f(x)=2^{(2^{x})} \rightarrow 4^{x}[/mm]
Irgendwie machen mich die Klammern etwas stutzig, deswegen frage ich ;)
lg
rem
PS: Hoffe es sind nicht zu viele Tippfehler im Text!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Do 05.11.2009 | | Autor: | rem |
Hmm, also vielleicht so:
[mm]f^{''}(x)=cos(2x)*4[/mm]
[mm]f^{'''}(x)=-sin(2x)*8[/mm]
Ja die Null erhalte ich doch wenn ich [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] als Konstante betrachte!? Oder nicht?
So wie bei der Ableitung von [mm]f(x)=3x^{2}+1[/mm] aus der Eins auch eine Null wird?
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Hallo rem!
> [mm]f^{''}(x)=cos(2x)*4[/mm]
> [mm]f^{'''}(x)=-sin(2x)*8[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ja die Null erhalte ich doch wenn ich [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] als
> Konstante betrachte!? Oder nicht?
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Nein, Du musst lediglich den Wert $x \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] in die jeweilige Ableitung einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Do 05.11.2009 | | Autor: | rem |
Achso! Das hab ich wohl falsch verstanden.
Wie ist es denn mit den restlichen Aufgaben? Stimmt dort eigentlich irgendetwas?
Auf jeden Fall danke für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Do 05.11.2009 | | Autor: | leduart |
> (2)
> Bestimmen Sie die ersten Ableitungen folgender Funktionen
> (a) [mm]f(x)=a^{x}[/mm] (b)[mm]f(x)=a^{x^{3}}[/mm] (c) [mm]f(x)=x^{ln(x)}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die ersten Ableitungen folgender Funktionen
> (a)[mm]f(x)=x^{x}[/mm] (b)[mm]f(x)=(2^{x})^{2} [/mm](c)[mm]f(x)=2^{2^{x}}[/mm]
>
> Hallo
>
> Hier die nächsten Übungsaufgaben für dich Tipps sowie
> eine Begutachtung benötige:
>
> ad Aufgabe 1)
>
> Zu allererst einmal setze ich für
> [mm]sin^{2}(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}[/mm] sowie
>
> [mm]cos^{2}(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}[/mm] ein. Als Ergebnis erhalte
> ich [mm]f(x)=-cos(2x)[/mm].
>
>
> Danach leite ich ab:
Ich bin nicht so sicher, dass du vorher umformen solltest, da ich denke, dass du Ketten und Produktregel üben sollst. aber richtig ists natürlich, bis zur 1. Ableitung.
> (a)
>
> Ganz "normal" laut Formelsammlung [mm]a^{x}\rightarrow a^{x}ln(a)[/mm]
Das führt dich später völlig in die Irre: bekannt ist nur [mm] (e^x)'=e^x [/mm] und die Kettenregel! also musst du die Formel beweisen.
setze [mm] a=e^{lna} [/mm] dann hast du [mm] a^x=e^{x*lna}
[/mm]
dann differenzieren, kommt auf das Ergebnis deiner Formelsammlung raus. aber die folgenden Aufgaben sind entsprechend zu lösen.
> (b)
>
> [mm]f^{'}(x)=(3x^{2}ln(a^{x^{3}})+x^{3}\frac{a^{x^{3}}}{a^{x^{3}}})a^{x^{3}}[/mm]
falsch, schreib [mm] f(x)=e^{x^3*lna} [/mm] und wende die Kettenregel an.
>
> (c)
>
> [mm]f^{'}(x)=\frac{1}{x}*ln(x^{ln(x)})+ln(x)\frac{x^{ln(x)}ln(x)}{x^{ln(x)}})x^{ln(x)}[/mm]
falsch vorgehen wie vorher [mm] x=e^{lnx} [/mm] usw.
> ad Aufgabe 3)
> Hier will ich zuerst eigentlich nur wissen, ob ich die
> letzten beiden Funktionen auch wie folgt betrachten und
> dann ableiten kann?
> (b) [mm]f(x)=(2^{x})^{2} \rightarrow 2^{x^{2}}[/mm]
schreib [mm] (2^{x})^{2}=2^x*2^x [/mm] dann siehst du deinen Fehler
> (c) [mm]f(x)=2^{(2^{x})} \rightarrow 4^{x}[/mm]
entsprechend nachprüfen z. Bsp mit x= ganze Zahl setz mal bei dir x=-1 ein und sieh ob dann dien Gl. richtig ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Do 05.11.2009 | | Autor: | rem |
Ach diese verdammten Potenzen, jedesmal das gleiche ...
Na gut!Danke für deine Hilfe.
Also, ich hab mir nun folgendes überlegt:
[mm]a^{x} = e^{ln(a^{x})} = e^{xln(a)}[/mm]
Somit:
1) [mm]a^{x^{3}} = e^{ln(a^{x^{3}})} = e^{x^{3}ln(a)}[/mm]
[mm]f^{'}(x)=e^{x^{3}ln(a)}*(3x^{2}*ln(a)+\frac{x^{3}}{a})[/mm]
2) [mm]x^{ln(x)} = e^{ln(x^{ln(x)})} = e^{ln(x)*ln(x)}[/mm]
[mm]f^{'}(x)=e^{ln(x)ln(x)}*(\frac{1}{x}*ln(x)+ln(x)*\frac{1}{x})=e^{ln(x)ln(x)}*\frac{2ln(x)}{x}[/mm]
Stimmt denn diesmal etwas? :(
*edit*
Da war noch ein Fehler. Folgendes kommt noch hinzu:
3) [mm](2^{x})^{2} =2^{x}* 2^{x} = e^{xln(2)} * e^{xln(2)}[/mm]
[mm]=(e^{xln(2)}*(1*ln(2)+\frac{x}{2}))*e^{xln(2)}+e^{xln(2)}*(e^{xln(2)}*(1*ln(2)+\frac{x}{2}))[/mm]
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du vergisst die innere Ableitung gemäß 
Kettenregel