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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:25 Do 23.04.2009 | | Autor: | thesame |
| Aufgabe | 1. Betrachten Sie nun zwei verschiedene Funktionen fa1 und fa2. Bestimmen sie den zeitpunkt t0, zu dem für beide FUnktionsannahmen (seit t=0) genau gleich viel wasser durch den Fluss geflossen wäre.
2. Die graphen von f1 und f '1 schließen mit der parallelen zur y-achse mit x=u, u> 0, ein flächen stück ein. Ermitteln sie den inhalt dieses Flächenstücks in Abhängigkeit von u.
3. Der Graph der Funktion f ' schließt mit der x-achse und der parallele zur y-achse mit x= u, u> 0 ein flächenstück ein. Ermitteln sie den inhalt A(u) dieser fläche allgemein in abhängigkeit von u.
4. Ermitteln sie den Inhalt A(a1 ; a1) der fläche, die die graphen zweier funktionen fa1 und fa2 , a1 < a2, der funktionenschar einschließen. |
Hallo zusammen,
Hier sind vier veschiedene Intergral aufgaben. Bei jeder aufgabe muss man eine andere formel anwenden bzw. anders rechnen. Meine frage ist nun wieso ? Könnt ihr mir das bitte erklären ?
Hier sind die funktionen.
1 [Dateianhang nicht öffentlich]
2 u. 3 [Dateianhang nicht öffentlich]
4 [Dateianhang nicht öffentlich]
Könnt ihr mir bitte erklären wieso man immer anders rechnen muss um die neue funktion rauszukriegen? ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Do 23.04.2009 | | Autor: | hase-hh |
Moin Peter,
Naja, zuerst muss ich eine Aufgabe doch analysieren, bevor ich das geeignete Lösungsverfahren auswähle und anwende.
> 1. Betrachten Sie nun zwei verschiedene Funktionen fa1 und
> fa2. Bestimmen sie den zeitpunkt t0, zu dem für beide
> FUnktionsannahmen (seit t=0) genau gleich viel wasser durch
> den Fluss geflossen wäre.
Mit Funktionsannahmen meinst du zwei Funktionen der Funktionenschar bzw. zwei Funktionen?
Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstehe ist hier der Zeitpunkt gesucht, an dem beide Stammfunktionen in dem betrachteten Intervall [0;t0] denselben Wert haben?!
> 2. Die graphen von f1 und f '1 schließen mit der parallelen
> zur y-achse mit x=u, u> 0, ein flächen stück ein.
> Ermitteln sie den inhalt dieses Flächenstücks in
> Abhängigkeit von u.
Flächenstück zwischen zwei Graphen...
- Schnittpunkte berechnen
=> Intervallgrenzen [Schnittpunkt; u]
:
> 3. Der Graph der Funktion f ' schließt mit der x-achse und
> der parallele zur y-achse mit x= u, u> 0 ein flächenstück
> ein. Ermitteln sie den inhalt A(u) dieser fläche allgemein
> in abhängigkeit von u.
Hier geht es nur um eine Funktion... also muss ich
- Nullstellen bestimmen
:
> 4. Ermitteln sie den Inhalt A(a1 ; a1) der fläche, die die
> graphen zweier funktionen fa1 und fa2 , a1 < a2, der
> funktionenschar einschließen.
Was bedeutet "Inhalt A (a1;a1)" ?
Zu unterscheiden ist sicher:
Was ist gegeben? Was ist gesucht?
Geht es um Intervallgrenzen, einen Gleichgewichtspunkt...?
Suche ich bzw. habe ich feste Intervallgrenzen oder ein unbestimmtes Integral?
Geht es um eine Funktion (in diesem Fall: verläuft die Funktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse usf.) oder um zwei Funktionen (die ein Flächenstück einschliessen) ?
Kann ich aus den Informationen feste Intervallgrenzen bestimmen, oder muss ich mit einem unbestimmten Integral rechnen?
Vielleicht könntest du noch einmal genauer fragen, was du wissen willst.
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Hallo Peter,
Bei Aufgabe 1 ist nicht wirklich klar, was mit den Funktionen
fa1 und fa2 gemeint ist. In der Grafik kommen Funktionen
[mm] f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] vor.
Möglicherweise sollen das Durchflussmengen pro Sekunde
sein, bei zwei verschiedenen Abflussmodellen. In diesem Fall
käme man auf die Gleichung
[mm] $\integral_{0}^{t_0}fa1(t)\ [/mm] dt\ =\ [mm] \integral_{0}^{t_0}fa2(t)\ [/mm] dt$
Bei Aufgabe 2 passt die Zeichnung. Da müsste man zuerst
den Schnittpunkt [mm] S(x_S/...) [/mm] der beiden Graphen ermitteln.
Dann ist
$\ B(u)\ =\ [mm] \integral_{x_S}^{u}(f_1(x)-f_1'(x))\ [/mm] dx$
Aufgabe 3 :
Der Graph von f' (bzw. [mm] f_1') [/mm] verläuft offenbar durch O(0/0)
und hat für x>0 negative Werte. Dann ist der gesuchte
Flächeninhalt
$\ A(u)\ =\ [mm] -\integral_{0}^{u}f_1'(x)\ [/mm] dx$
Dies könnte man mittels Hauptsatz weiter umformen.
Bei Aufgabe 4 ist mir der Zusammenhang zwischen Figur
und Aufgabe gar nicht klar. Ausserdem sehe ich nicht, was
mit "Inhalt A(a1 ; a1)" gemeint sein soll.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Fr 24.04.2009 | | Autor: | thesame |
Erstmal vielen dank, für die schnelle und gute antwort. Gestern abend versuchte ich natürlich noch die aufgaben zulösen.zum glück habe ich es geschaft (denke ich zumindestens).
1: Da habe ich nur gegeben fa(t) = [mm] 1/4t^3 [/mm] - [mm] at^2 [/mm] + a^2t a>0
Die aufgabe lautet: Betrachten Sie nun zwei verschiedene Funktionen fa1 und fa2. Bestimmen sie den zeitpunkt t0, zu dem für beide FUnktionsannahmen (seit t=0) genau gleich viel wasser durch den Fluss geflossen wäre.
Antw: Ich habe mir die lösung angeschaut und es stand da fa1 =fa2.
Frage: wie kommen sie auf die fa2? wenn da nur 1 funktion gegeben ist. Und wieso die funktionen im diesem fall gleichgesetzt werden ?
2: 2. Die graphen von f1 und f '1 schließen mit der parallelen zur y-achse mit x=u, u> 0, ein flächen stück ein. Ermitteln sie den inhalt dieses Flächenstücks in Abhängigkeit von u.
Antwort: Ich muss hier die fläche zwischen zwei graphen ausrechnen.
[Externes Bild http://img6.imageshack.us/img6/2061/16899167.png]
Ich habe zuerst f1(x) - f2(x)dx und dann die fläche in abhängigkeit zu berechnet. Ist das richtig ?
3: Der Graph der Funktion f ' schließt mit der x-achse und der parallele zur y-achse mit x= u, u> 0 ein flächenstück ein. Ermitteln sie den inhalt A(u) dieser fläche allgemein in abhängigkeit von u.
Antwort: ich habe die aufgabe fast genau gerechnet wie die 2. Habe zuerst die hochleitung von f' gemacht. Dann ausgerechnet.
[Externes Bild http://img4.imageshack.us/img4/8652/82234125.png]
4: Ermitteln sie den Inhalt A(a1 ; a1) der fläche, die die graphen zweier funktionen fa1 und fa2 , a1 < a2, der funktionenschar einschließen. Die kurvenschar lautete fa(t) = [mm] 0.5t^3 [/mm] - [mm] 1.5*(a+1)t^2 [/mm] + 6at + 120
Antowrt: Ich habe mir auch überlegt die fläche ausrechnen. Aber was mich verwundert hat, waren die lösungen. Schon wieder tauchte die 2 funktion nämlich fa2. Wie kommen sie drauf ? ich verstehe das nicht, einfach selber bilden ?
Ich habe das mich fa1 - fa2 gerechnet, das ergebnis was leider falsch. Nun schaute ich auf die lösung, sie haben fa2 - fa1 gerechnet, aber wieso? weil fa2 größer ist als fa1 ? ;)
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> 1: Da habe ich nur gegeben fa(t) = [mm]1/4t^3[/mm] - [mm]at^2[/mm] + a^2t
> a>0
> Die aufgabe lautet: Betrachten Sie nun zwei verschiedene
> Funktionen fa1 und fa2. Bestimmen sie den zeitpunkt t0, zu
> dem für beide FUnktionsannahmen (seit t=0) genau gleich
> viel wasser durch den Fluss geflossen wäre.
> Antw: Ich habe mir die lösung angeschaut und es stand da
> fa1 =fa2.
>
> Frage: wie kommen sie auf die fa2? wenn da nur 1 funktion
> gegeben ist. Und wieso die funktionen im diesem fall
> gleichgesetzt werden ?
[mm] f_a(t) [/mm] steht eben nicht nur für eine einzige Funktion, sondern
für eine ganze Funktionsschar. Je nach dem Wert, den a
hat, hat man verschiedene Funktionen. So macht es
auch Sinn, zwei aus dieser Schar herausgepickte
Funktionen (die für [mm] a=a_1 [/mm] und die für [mm] a=a_2) [/mm] mitein-
ander zu vergleichen.
Weiterhin ist aber inhaltlich nicht klar, was die [mm] f_a(t)
[/mm]
inhaltlich (in Bezug auf den Fluss) denn wirklich genau
bedeutet. Die rudimentär notierte Lösung "fa1=fa2"
bedeutet wohl, dass man, um den gesuchten Zeitpunkt
[mm] t_0 [/mm] herauszufinden, die Gleichung [mm] f_{a_1}(t)=f_{a_2}(t) [/mm] auflösen muss.
> 2: 2. Die graphen von f1 und f '1 schließen mit der
> parallelen zur y-achse mit x=u, u> 0, ein flächen stück
> ein. Ermitteln sie den inhalt dieses Flächenstücks in
> Abhängigkeit von u.
> Antwort: Ich muss hier die fläche zwischen zwei graphen
> ausrechnen.
>
> [Externes Bild http://img6.imageshack.us/img6/2061/16899167.png]
>
> Ich habe zuerst f1(x) - f2(x)dx und dann die fläche in
> abhängigkeit zu berechnet. Ist das richtig ?
Sofern du auch die Grenzen richtig eingesetzt hast: ja.
Die untere Funktion hiess doch [mm] f_1' [/mm] (nicht [mm] f_2) [/mm] ...
> 3: Der Graph der Funktion f ' schließt mit der x-achse und
> der parallele zur y-achse mit x= u, u> 0 ein flächenstück
> ein. Ermitteln sie den inhalt A(u) dieser fläche allgemein
> in abhängigkeit von u.
> Antwort: ich habe die aufgabe fast genau gerechnet wie die
> 2. Habe zuerst die hochleitung von f' gemacht. Dann
> ausgerechnet.
> [Externes Bild http://img4.imageshack.us/img4/8652/82234125.png]
Die Figur ist richtig. Konkret was rechnen kann man nur,
wenn man die Funktion f kennt. Und: f ist natürlich
Stammfunktion von f' (wenn f' wirklich die Ableitung von f war)
> 4: Ermitteln sie den Inhalt A(a1 ; a1)
Gemeint war sicher [mm] A(a_1, a_2) [/mm] und nicht [mm] A(a_1, a_1) [/mm]
> der fläche, die die
> graphen zweier funktionen fa1 und fa2 , a1 < a2, der
> funktionenschar einschließen. Die kurvenschar lautete fa(t)
> = [mm]0.5t^3[/mm] - [mm]1.5*(a+1)t^2[/mm] + 6at + 120
> Antowrt: Ich habe mir auch überlegt die fläche ausrechnen.
> Aber was mich verwundert hat, waren die lösungen. Schon
> wieder tauchte die 2 funktion nämlich fa2. Wie kommen sie
> drauf ? ich verstehe das nicht, einfach selber bilden ?
[mm] f_{a_1} [/mm] und [mm] f_{a_2} [/mm] sind offenbar wieder zwei Einzelfunktionen
aus einer Funktionenschar $\ [mm] \{f_a\ |\ a\in\IR\}$ [/mm]
> Ich habe das mich fa1 - fa2 gerechnet, das ergebnis was
> leider falsch. Nun schaute ich auf die lösung, sie haben
> fa2 - fa1 gerechnet, aber wieso? weil fa2 größer ist als
> fa1 ? ;)
Für diese Aufgabe ist eigentlich zuerst eine Untersuchung
der Scharkurven erforderlich, wobei man insbesondere
die Schnittpunkte zweier Scharkurven ermitteln muss.
Einer liegt offenbar bei t=0. Wo liegen die übrigen, falls
es überhaupt welche gibt ? Um zu entscheiden, ob man
[mm] f_{a_1}-f_{a_2} [/mm] oder [mm] f_{a_2}-f_{a_1} [/mm] integrieren soll, muss man abklären,
ob im (oder in den) Integrationsintervall(en) [mm] f_{a_1(t)}>f_{a_2(t)} [/mm]
oder [mm] f_{a_2(t)}
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Fr 24.04.2009 | | Autor: | thesame |
Erstmal vielen vielen dank für diese schnelle hilfe Al-Chwarizmi. Ja stimmt, die schnittpunkte lagen bei a1 0 und a2 4 :) Nochmal danke dir! ;)
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