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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Sesces |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 1 Seien A,B,C Mengen, R,T [mm] \subseteq [/mm] A x B und S [mm] \subseteq [/mm] B x C. Zeigen Sie:
a) ( R [mm] \cap [/mm] T ) ^-1 = R^-1 [mm] \cap [/mm] T^-1
b) ( R [mm] \cup [/mm] T ) ^-1 = R^-1 [mm] \cup [/mm] T ^-1
c) Sind R und S eindeutig, so auch S [mm] \circ [/mm] R.
d) Sind R uns S total, so auch S [mm] \circ [/mm] R. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 2 Seien A,B,C Mengen. Zeigen Sie:
a) A x ( B [mm] \cap [/mm] C ) = ( A x B ) [mm] \cap [/mm] ( A x C ) und ( B [mm] \cap [/mm] C) x A = ( B x A ) [mm] \cap [/mm] ( C x A )
b) gleiche aufgabe nur alle [mm] \cap [/mm] sind [mm] \cup [/mm] |
Guten Abend, habe diesmal eine etwas längere Aufgabenstellung und Paar "Lösungen bzw Ansätze" aber weiß nicht ob ich mich da in die richtige Richtung bewege
Aufgabe 1 a) Sei ( b,a ) € ( R [mm] \cap [/mm] T ) ^-1 dann folgt a € A und b € B mit ( a,b ) € A x B. Mit ( a,b ) € R und ( a,b ) € T nach R,T [mm] \subseteq [/mm] A x B , dann gilt R /cap T. Weiterhin gilt für R^-1 , T^-1 R^-1 := { (y,x) € B x A | ( x,y ) € R}. Ferner gilt ( b,a ) € R^-1 und ( b,a ) € T^-1 , daraus folgt R^-1 [mm] \cap [/mm] T^-1 .
Sei ( b,a ) € R^-1 [mm] \cap [/mm] T^-1 so gilt ( a,b ) € R [mm] \cap [/mm] T , da ( a,b ) € R [mm] \cap [/mm] T und b,a ) € R^-1 [mm] \cap [/mm] T^-1 da R,T [mm] \subseteq [/mm] A x B gilt.
Frage: ich weiß nicht ob ich das richtig gemacht habe oder ein paar Fakten nicht aus der Aufgabenstellung herauslesen konnte. Ob mir dies wer evtl beantworten könnte?
b) wäre in diesem Fall alles umgekehrt und die € wären dann anders verteilt, habe diese Aufgabe leider noch nicht gemacht da ich mir nix falsches einprägen will.
c) und d) Frage: ich verstehe die Aufgabenstellung nicht, sprich das S [mm] \circ [/mm] R sagt mir in dem Fall gar nichts und weiß nicht wie ich dies interpretieren soll, auch das eindeutig und total, ist dies in dem Fall auf die Definition von eindeutige und totale Relationen zurückzuführen? oder ist es eine andere?
Aufgabe 5
a) und b) kann ich eine Beweisführung durch die Kommutativität, Assoziativität oder Distributivität führen, oder ist dies als Beweisführung unzulässig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
,Gruß Eddy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Di 15.11.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Eddy,
> Aufgabe 1 Seien A,B,C Mengen, R,T [mm]\subseteq[/mm] A x B und S
> [mm]\subseteq[/mm] B x C. Zeigen Sie:
>
> a) ( R [mm]\cap[/mm] T ) ^-1 = R^-1 [mm]\cap[/mm] T^-1
> b) ( R [mm]\cup[/mm] T ) ^-1 = R^-1 [mm]\cup[/mm] T ^-1
> c) Sind R und S eindeutig, so auch S [mm]\circ[/mm] R.
> d) Sind R uns S total, so auch S [mm]\circ[/mm] R.
> Aufgabe 2 Seien A,B,C Mengen. Zeigen Sie:
>
> a) A x ( B [mm]\cap[/mm] C ) = ( A x B ) [mm]\cap[/mm] ( A x C ) und ( B [mm]\cap[/mm]
> C) x A = ( B x A ) [mm]\cap[/mm] ( C x A )
>
> b) gleiche aufgabe nur alle [mm]\cap[/mm] sind [mm]\cup[/mm]
> Guten Abend, habe diesmal eine etwas längere
> Aufgabenstellung und Paar "Lösungen bzw Ansätze" aber
> weiß nicht ob ich mich da in die richtige Richtung bewege
>
> Aufgabe 1 a) Sei ( b,a ) € ( R [mm]\cap[/mm] T ) ^-1 dann folgt a
> € A und b € B mit ( a,b ) € A x B. Mit ( a,b ) € R
> und ( a,b ) € T nach R,T [mm]\subseteq[/mm] A x B , dann gilt R
> /cap T. Weiterhin gilt für R^-1 , T^-1 R^-1 := {
> (y,x) € B x A | ( x,y ) € R}. Ferner gilt ( b,a ) €
> R^-1 und ( b,a ) € T^-1 , daraus folgt R^-1 [mm]\cap[/mm] T^-1 .
>
> Sei ( b,a ) € R^-1 [mm]\cap[/mm] T^-1 so gilt ( a,b ) € R [mm]\cap[/mm] T
> , da ( a,b ) € R [mm]\cap[/mm] T und b,a ) € R^-1 [mm]\cap[/mm] T^-1 da
> R,T [mm]\subseteq[/mm] A x B gilt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Man könnte es noch etwas schöner (mit Formeleditor) und
zwingender in der Argumentation darstellen:
z.z. $(R [mm] \cap T)^{-1} \subseteq R^{-1} \cap T^{-1}$
[/mm]
Sei $a [mm] \in [/mm] A$ und $b [mm] \in [/mm] B$ mit $(b,a) [mm] \in [/mm] (R [mm] \cap T)^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Def. Umkehrrelation)
$(a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \cap [/mm] T$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Def. Schnittmenge)
$(a,b) [mm] \in [/mm] R$ und $(a,b) [mm] \in [/mm] T$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Def. Umkehrrelation)
$(b,a) [mm] \in R^{-1}$ [/mm] und $(b,a) [mm] \in T^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Def. Schnittmenge)
$(b,a) [mm] \in R^{-1} \cap T^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Def. Teilmenge)
$(R [mm] \cap T)^{-1} \subseteq R^{-1} \cap T^{-1}$
[/mm]
z.z.: [mm] $R^{-1} \cap T^{-1} \subseteq [/mm] (R [mm] \cap T)^{-1}$
[/mm]
Sei $a [mm] \in [/mm] A$ und $b [mm] \in [/mm] B$ mit $(b,a) [mm] \in R^{-1} \cap T^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Def. Schnittmenge)
$(b,a) [mm] \in R^{-1}$ [/mm] und $(b,a) [mm] \in T^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Def. Umkehrrelation)
$(a,b) [mm] \in [/mm] R$ und $(a,b) [mm] \in [/mm] T$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Def. Schnittmenge)
$(a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \cap [/mm] T$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Def. Umkehrrelation)
$(b,a) [mm] \in [/mm] (R [mm] \cap T]^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Def. Teilmenge)
[mm] $R^{-1} \cap T^{-1} \subseteq [/mm] (R [mm] \cap T)^{-1}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
[mm] $R^{-1} \cap T^{-1} [/mm] = (R [mm] \cap T)^{-1}$
[/mm]
>
>
>
> Frage: ich weiß nicht ob ich das richtig gemacht habe oder
> ein paar Fakten nicht aus der Aufgabenstellung herauslesen
> konnte. Ob mir dies wer evtl beantworten könnte?
>
>
> b) wäre in diesem Fall alles umgekehrt und die € wären
> dann anders verteilt, habe diese Aufgabe leider noch nicht
> gemacht da ich mir nix falsches einprägen will.
Umgekehrt würde ich nicht sagen, es ist so, wie in a), aber
$(a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \cup [/mm] T [mm] \gdw [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \vee [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] T$.
[mm] ($\vee$: [/mm] logisches oder. Wo ich oben bei [mm] $\cap$ [/mm] "und" geschrieben habe
ist es eigentlich [mm] $\wedge$: [/mm] logisches und.)
>
> c) und d) Frage: ich verstehe die Aufgabenstellung nicht,
> sprich das S [mm]\circ[/mm] R sagt mir in dem Fall gar nichts und
> weiß nicht wie ich dies interpretieren soll, auch das
> eindeutig und total, ist dies in dem Fall auf die
> Definition von eindeutige und totale Relationen
> zurückzuführen? oder ist es eine andere?
S [mm]\circ[/mm] R bedeutet ![[]](/images/popup.gif) Verkettung der Relationen R und S. Auch eindeutig und total
bezieht sich auf eindeutige und totale Relationen.
>
>
>
> Aufgabe 5
>
> a) und b) kann ich eine Beweisführung durch die
> Kommutativität, Assoziativität oder Distributivität
> führen, oder ist dies als Beweisführung unzulässig?
Besser ist zu zeigen ( A x ( B [mm]\cap[/mm] C ) [mm] $\subseteq$ [/mm] ( A x B ) [mm]\cap[/mm] ( A x C ) )
[mm] $\wedge$ [/mm] ( A x ( B [mm]\cap[/mm] C ) [mm] \supseteq [/mm] ( A x B ) [mm]\cap[/mm] ( A x C ) ) mit den Definitionen
von kartesischem Produkt und Schnittmenge bzw. Vereinigung von Mengen.
Mit der Aufgabe soll Distributivität erst nachgewiesen werden.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> ,Gruß Eddy
Gruß
meili
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