Verständnis < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Di 06.11.2007 | | Autor: | BEAT |
| Aufgabe | Erarbeiten Sie sich das Verständnis folgenden Textes: Die Integralfunktionen zu einer gemeinsamen Integrandenfunktion unterscheiden sich lediglich in einer additiven Konstanten.
Für alle Integralfunktionen F zu einer Integrandenfunktion f gilt: F`(x) = f(x)
(d.h.: Die Integrandenfunktion ist die Ableitung der Integralfunktion). |
Könnte mir hierbei jemand helfen, der den Zusammenhang klar erfasst hat und mir das Verständnis des Textes mitteilen können?
Besondere Schwierigkeit habe ich den Stellen: "additiven Konstanten", "F´(x) = f(x) und "ist die Ableitung der Integralfunktion".
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Di 06.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Integration kann man als Umkehrung der Ableitung auffassen!
Aber mal ein Beispiel:
Die Integrandenfunktion ist f(x)=3x²+2x.
Die Integrandenfunktion integriert ist [mm] F(x)=\integral_{}^{}{(3x²+2x)dx}=x³+x²+c
[/mm]
Dieses c ist die additive Konstante. Für c kann 0 stehen, 1, -5345, [mm] \pi [/mm] oder eine andere Konstante. Aber egal was da für c steht: es ist immer eine Integralfunktion F von f.
Denn wenn man diese Integralfunktion F wieder ableitet erhält man wieder die Ausgangsfunktion.
F'(x)=f(x)=3x²+2x, da diese additive Konstante c beim Ableiten wieder wegfällt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Di 06.11.2007 | | Autor: | BEAT |
Ich habe nochmal eine Frage dazu und zwar, woher kommt jetzt das x³+x²+c? Ist die x³+x²+c Funktion, die komplette Konstante?
Und wie funktioniert das Ableiten der Integralfunktion, wenn du schon die Integrandenfunktion integriert hast.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Di 06.11.2007 | | Autor: | Teufel |
F(x)=x³+x²+c ist die Funktion f(x)=3x²+2x integriert! Weißt du, wie man integriert?
Aber leite doch F(x)=x³+x²+c mal wieder ab! Es entsteht wieder F'(x)=3x²+2x.
Und die Konstante ist nur dieses c.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 06.11.2007 | | Autor: | BEAT |
Sind denn alle Funktionen F, für die gilt F´= f als Integralfunktion von f denkbar? Wie wäre es denn mit [mm] F(x)\bruch{x^4}{4}+1 oder F(x)\bruch{x^4}{4}-1 [/mm]
Danke schon mal für die viele Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Di 06.11.2007 | | Autor: | Teufel |
F'(x)=f(x) gilt immer!
f(x)=6x²+3
F(x)=2x³+3x+c
F'(x)=6x²+3
Das +c fällt ja immer weg, da es eine Konstante ist, die beim Ableiten ja imme wegfällt.
Wenn man die Integralfunktion also wieder ableitet, erhält man die Integrandenfunktion. Deshalb meinte ich, dass man Ableitung und Integration als Umkehroperationen ansehen kann!
Sie heben sich gegenseitig wieder auf, wenn du sie auf eine Funktion anwendest.
|
|
|
|
