Verständnis? Gerade/Ebene ll ? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Sa 31.03.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | | Für welche a, b [mm] \in \IR [/mm] ist die Gerade g: x [mm] \vektor{1\\ 2\\ -1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{a\\ 3\\ 3} [/mm] zur Ebene E: 3 [mm] x_{1} [/mm] + b [mm] x_{2}+ x_{3} [/mm] parallel? |
Hallo,
vorab was ganz wichtig ist, ich habe diese Frage heute schon in einem anderem Matheforum gestellt. Leider kam ich aber nicht wirklich weiter, trotz dass sehr viel versucht wurde mir bei der Aufgabe zur Lösung zu helfen!!!!!!!!! Also nochmal danke für eure Hilfe!!!
Vieleicht kann es mir hier jemand vllt anders erklären (ein versuch ist es ja Wert :) )
Erstmal eine Verständnisfrage ob ich es nun auch wirklich letztendlich von den anderen verstande habe. Nämlich zur Orthogonalität zwischen Ebene und Gerade:
Also wenn ich den Normalenvektor der Ebene mit dem Richtungsvektor der Geraden multipliziere (Skalarprodukt) und als Ergebnis eine Null rauskommt, steht der RV der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist. Was auch gleichzeitig aussagt, dass die Ebene und die Gerade parallel zueinander sind.
RICHTIG ?????? Wenn nein dann geb ichs auf (wenn doch richtig dann schreibe ich heute abend weiter), was sonst noch für Probleme bei dieser Aufgabe sind.
lg betina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Sa 31.03.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo betina,
immer mit der Ruhe und einmal nachdenken. Ja, Deine Überlegung ist richtig. Wenn Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade senkrecht zueinander stehen, so sind Ebene und Gerade parallel. Der eingeschlossene Winkel ist 90 Grad und demzufolge ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null.
Also okay also bis dahin, jetzt einfach mal weiterrechnen.
Viel Spaß dabei wünscht
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 01.04.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | Für welche a, b [mm] \in \IR [/mm] ist Gerade zur Ebene parallel?
Gegeben: Ebene: 3x1 + bx2 + x3 + 4 = 0
Gerade: [mm] \vektor{1 \\ 2\\-1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{a \\ 3\\3} [/mm] |
Hi,
ich hab gestern die Frage hier schonmal gestellt, musste aber leider früher zur Arbeit, daher konnte ich nicht auf die Antwort von Infinit, nochmal eine Rückfrage stellen.
Wir waren soweit, dass ich das richtig verstanden habe, dass der RV orthogonal zum NV ist, wenn beim Skalarprodukt eine Null als Ergebnis rauskommt.
Mein Hauptproblem im Bezug auf dieser Aufgabe ist, dass hier keine Zahl beim Skalarprodukt rauskommt sondern eine Variable.
Folgendes:
[mm] \vektor{3 \\ b\\1} [/mm] * [mm] \vektor{a \\ 3\\3} [/mm] = 0
Daraus folgt:
3a + 3b + 3 = 0
3a + 3b = -3
3 (a+b) = -3 die ganze Gleichung dividiert durch 3
a + b = -1 die Ganze Gleichung -b
a = -1 -b
oder auch
b = -1 -a
WAS SAGEN JETZT DIESE ZWEI ERGEBNISSE IM BEZUG AUF DIE ORTHOGONALITÄT AUS ???
Es kommt weder eine Null bzw. sonst eine Zahl (wenn dies ja der Fall wäre und eine Zahl rauskommen würde.. meinet wegen z.B. eine 2 heisst dass ja dass keine Orthogonalität vorhanden ist)
Die variablen stören mich!!
Wie müsste ich jetzt weiter rechnen? Könnte mir jemand von euch bitte dafür einen rechnerischen Lösungsansatz geben, wie ich jetzt weiter rechnen müsste (leider kann ich meistens mit den Worten nichts anfangen)?
Ich melde mich dann wenn ich dann wenns mit dann geklappt hat ich die Aufgabe endlich gelöst bekomme, also schon mal VIELEN DANK FÜR EURE HILFE/Lösungsansatz!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 01.04.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Für welche a, b [mm]\in \IR[/mm] ist Gerade zur Ebene parallel?
> Gegeben: Ebene: 3x1 + bx2 + x3 + 4 = 0
> Gerade: [mm]\vektor{1 \\
2\\
-1}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{a \\
3\\
3}[/mm]
>
> Hi,
>
> ich hab gestern die Frage hier schonmal gestellt, musste
> aber leider früher zur Arbeit, daher konnte ich nicht auf
> die Antwort von Infinit, nochmal eine Rückfrage stellen.
>
>
> Wir waren soweit, dass ich das richtig verstanden habe,
> dass der RV orthogonal zum NV ist, wenn beim Skalarprodukt
> eine Null als Ergebnis rauskommt.
So ist es.
>
> Mein Hauptproblem im Bezug auf dieser Aufgabe ist, dass
> hier keine Zahl beim Skalarprodukt rauskommt sondern eine
> Variable.
Das soll ja auch so sein. Du wills ja Variablen finden.
>
> Folgendes:
>
> [mm]\vektor{3 \\
b\\
1}[/mm] * [mm]\vektor{a \\
3\\
3}[/mm] = 0
>
> Daraus folgt:
> 3a + 3b + 3 = 0
> 3a + 3b = -3
> 3 (a+b) = -3 die ganze Gleichung dividiert durch 3
> a + b = -1
Bis hierher ist alles ok.
> die Ganze Gleichung -b
> a = -1 -b
> oder auch
> b = -1 -a
>
> WAS SAGEN JETZT DIESE ZWEI ERGEBNISSE IM BEZUG AUF DIE
> ORTHOGONALITÄT AUS ???
Wenn a+b=-1 sind, ist die Gerade parallel zur Ebene, gilt [mm] a+b\ne-1, [/mm] ist g nicht parallel zu E.
>
> Es kommt weder eine Null bzw. sonst eine Zahl (wenn dies ja
> der Fall wäre und eine Zahl rauskommen würde.. meinet
> wegen z.B. eine 2 heisst dass ja dass keine Orthogonalität
> vorhanden ist)
Bezieht sich das auf die Probe? Ansonsten weiss ich leider nicht, was du hier berechnet hast.
>
> Die variablen stören mich!!
Warum?
>
> Wie müsste ich jetzt weiter rechnen? Könnte mir jemand
> von euch bitte dafür einen rechnerischen Lösungsansatz
> geben, wie ich jetzt weiter rechnen müsste (leider kann
> ich meistens mit den Worten nichts anfangen)?
Mit a+b=-1 warst du fertig, wenn du das Ergebnis korrekt interpretiert hättest
>
>
> Ich melde mich dann wenn ich dann wenns mit dann geklappt
> hat ich die Aufgabe endlich gelöst bekomme, also schon mal
> VIELEN DANK FÜR EURE HILFE/Lösungsansatz!!!
Mach das
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 So 01.04.2012 | | Autor: | betina |
Ok danke für die Antwort.
Aber was mich jetzt irritiert ist, ich habe ja oben gesagt wenn eine Null raus kommt sind sie orthogonal ABER es kommt ja keine Null raus!!
Was ist dann mit den anderen Teilaufgaben dieser Aufgabe?
Aufgabenteil b) Für welche a,b [mm] \in \IR [/mm] liegt die Gerade in der Ebene?
Aufgabenteil c) Für welche a,b [mm] \in \IR [/mm] liegt schneidet die Gerade die Ebene?
Kann ich dann einfach sagen, dass anhand dem Aufgabenteil a) einen SP zwischen g und E ausgeschlossen ist (denn ich hab ja im Aufgabenteil a) rechnerisch bewiesen dass sie Parallel sind), somit könnte ich das gleiche auch für Aufgabenteil c) sagen.
Oder muss ich dafür auch was rechnerisches Beweisen müssen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 So 01.04.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo betina,
ich fürchte, Du kannst mit dem begriff der Variablen nichts anfangen. Die Beziehung zwischen a und b, die für eine Parallelität gelten muss, kennst Du doch nach der Rechnung von Marius, es muss nämlich gelten:
[mm] a + b = - 1 [/mm]
In der Aufgabe wurde doch nur gefragt, für welche Werte aus R dies gilt, nämlich für alle, die diese Bedingung erfüllen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 01.04.2012 | | Autor: | betina |
INFINIT, ich glaube ich habs jetzt endlich verstanden!!!
Ich möchte jetzt nur noch deine bestätigung dafür hören :)
Allllssooooo liebe(r) Infinit,
du sagtest " In der Aufgabe wurde doch nur gefragt, für welche Werte aus R dies gilt, nämlich für alle, die diese Bedingung a + b = -1 erfüllen. " Was für mich übersetzt heisst, dass alle reelle Zahlen die ich für a und b einsetze, wenn als Ergebnis eine -1 rauskommt ist die Bedingung somit erfüllt. Dann ist eine Orthogonalität/Parallität vorhanden. Um es nochmal rechnerisch zu zeigen: Aber lese es dir komplett durch, auch wenn du schon am Anfang oder mitten drin einen Fehler siehst.
Skalarprodukt
3a + 3b + 3 = 0
3a + 3b = -3
3 (a+b) = -3 die ganze Gleichung dividiert durch 3
a + b = -1
a = -1 - b
b = -1 -a
Die Werte von der Geraden [mm] \vektor{1\\ 2\\-1}+ \lambda [/mm] * [mm] \vektor{a \\ 3\\3} [/mm] also die Werte 1, 2 und die -1
3x1 + bx2 + x3 + 4 = 0
3 * 1 + b * 2 + 1 * (-1) + 4 = 0
3 + 2b - 1 + 4 = 0
6 + 2b = 0 die Gleichung -6
2b = -6 die Gleichung dividiert durch 2
b = -3
a + b = -1
Ich setze jetzt -3 bei b ein
a - 3 = -1 die ganze Gleichung + 3
a = 2
für variable a habe ich 2 raus
für variable b habe ich -3 raus
die zwei Werte in " a+b = -1" eingesetzt
2+(-3) = -1
2-3 = -1
Aber -3 ist keine reele Zahl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 So 01.04.2012 | | Autor: | abakus |
> INFINIT, ich glaube ich habs jetzt endlich verstanden!!!
> Ich möchte jetzt nur noch deine bestätigung dafür
> hören :)
>
> Allllssooooo liebe(r) Infinit,
>
> du sagtest " In der Aufgabe wurde doch nur gefragt, für
> welche Werte aus R dies gilt, nämlich für alle, die diese
> Bedingung a + b = -1 erfüllen. " Was für mich übersetzt
> heisst, dass alle reelle Zahlen die ich für a und b
> einsetze, wenn als Ergebnis eine -1 rauskommt ist die
> Bedingung somit erfüllt. Dann ist eine
> Orthogonalität/Parallität vorhanden. Um es nochmal
> rechnerisch zu zeigen: Aber lese es dir komplett durch,
> auch wenn du schon am Anfang oder mitten drin einen Fehler
> siehst.
>
> Skalarprodukt
>
> 3a + 3b + 3 = 0
> 3a + 3b = -3
> 3 (a+b) = -3 die ganze Gleichung dividiert durch 3
> a + b = -1
Das bedeutet z.B.:
Wenn a=8 und b=-9, dann steht g auf E senkrecht.
Wenn a=0 und b=-1, dann steht g auf E senkrecht.
Wenn a=-2,77 und b=1,77, dann steht g auf E senkrecht.
Willst du noch 1000 Beispiele?
>
> a = -1 - b
> b = -1 -a
>
> Die Werte von der Geraden [mm]\vektor{1\\
2\\
-1}+ \lambda[/mm] *
> [mm]\vektor{a \\
3\\
3}[/mm] also die Werte 1, 2 und die -1
> 3x1 + bx2 + x3 + 4 = 0
Hallo,
die Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten, nicht nur aus dem Punkt (1|2|-1).
Du untersuchst gerade, ob eventuell dieser Punkt in der Ebene liegt.
> 3 * 1 + b * 2 + 1 * (-1) + 4 = 0
> 3 + 2b - 1 + 4 = 0
> 6 + 2b = 0 die Gleichung -6
> 2b = -6 die Gleichung dividiert durch 2
> b = -3
>
> a + b = -1
> Ich setze jetzt -3 bei b ein
>
> a - 3 = -1 die ganze Gleichung + 3
> a = 2
>
> für variable a habe ich 2 raus
> für variable b habe ich -3 raus
Damit hast du eine von unendlich vielen Varianten gefunden, in der g senkrecht auf E steht. Hier liegt einfach nur der spezielle Fall vor, dass sich g und E einfach im durch die Geradengleichung gegebenen Punkt (1|2|-1) senkrecht schneiden.
>
> die zwei Werte in " a+b = -1" eingesetzt
> 2+(-3) = -1
> 2-3 = -1
>
> Aber -3 ist keine reele Zahl
Also das einzige, was -3 (von den gängigen Zahlenbereichen) NICHT ist:
-3 ist keine natürlliche Zahl.
Aber -3 ist eine ganze Zahl.
Alle ganzen Zahlen gehören auch zu den rationalen Zahlen.
Alle rationalen Zahlen gehören auch zu den reellen Zahlen.
Gruß Abakus
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