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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | In einem Ring wird zur additiven abelschen Gruppe die Assoziativität und ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation gefordet. Es sei nun [mm] R^{nxn} [/mm] der Ring der quadratischen Matrizen der Dimension n über einem kommutativen Ring R.
Dieser enthält die allgemeine Lineare Gruppe [mm] GL_{n}(R) [/mm] = [mm] \{A \in R^{nxn} : A invertierbar \}, [/mm] die Gruppe [mm] SL_{n}(R) [/mm] = [mm] \{ A \in GL_{n}(R): det(A) = 1_{R} \} [/mm] und die Menge [mm] H_{R} [/mm] = [mm] \{ \alpha * I : \alpha \in R^{*} \} [/mm] mit der Einheitsmatrix I [mm] \in SL_{n}(R), [/mm] wobei R* die Menge der multiplikativ invertierbaren Elemente darstellt. Zeige:
(a) Es sind [mm] H_{R} [/mm] und [mm] SL_{n}(R) [/mm] Untergruppen von [mm] GL_{n}(R)
[/mm]
(b) Die Untergruppe [mm] H_{R} [/mm] ist abelsch, [mm] GL_{n}(R) [/mm] im allgemeinen aber nicht
(c) nicht wichtig für mein Anliegen |
Hallo, wir hatten Ringe bis jetzt noch nicht und nun hat unser Professor die Definition eines Ringes in zwei Sätzen auf dem Aufgabenblatt zusammengefasst und Aufgaben dazu gestellt. Jetzt habe ich mich über Wikipedia ein wenig durch die Zusammenhänge gearbeitet. Einiges ist mir jedoch noch nicht klar. Vorweg: Ich möchte keine Antworten auf die Fragen, sondern nur Verständnishilfen.
1.) Sind die Elemente bezüglich der Multiplikation auch aus [mm] R^{nxn}?
[/mm]
2.) "über einem kommutativen Ring R" : Wieso diese Anmerkung bzw. was beduetet das? Heißt das jetzt, dass [mm] R^{1x1} [/mm] auch für sich einen Ring bildet? Kommutativ bedeutet ja kommutativ bzgl. Multiplikation gemäß Wikipedia
3.) Was heißt hier "enthält die ... Gruppe"? Ich dachte wir reden hier von dem Ring? Wieso auf einmal Gruppe? und wenn wir hier plötzlich von Gruppen reden, bzgl. welcher Verknüpfung? Warum haben wir überhaupt oben beschrieben was ein Ring ist, wenn sich die Aufgaben nur auf Gruppen beziehen?
4.) Zur Menge R* : Sind diese Alphas jetzt [mm] R^{nxn}-Matrizen [/mm] die invertierbar sind oder Elemente aus [mm] R^{1x1}? [/mm] (siehe Frage 1)
Wenn ihr mir diese Fragen beantworten könnntet, dann wäre das echt wirklich super. Das würde mir sehr beim Verständnis helfen.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Sin777 |
Kann mir niemand helfen? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mi 02.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Sin777,
> 1.) Sind die Elemente bezüglich der Multiplikation auch
> aus [mm]R^{nxn}?[/mm]
[mm] R^{n\times n} [/mm] wird zu einem Ring mit der gewöhnlichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation.
> 2.) "über einem kommutativen Ring R" : Wieso diese
> Anmerkung bzw. was beduetet das?
Wir haben in der Aufgabenstellung mit zwei Ringen zu tun: Einmal dem Ring R, von dem wir nichts weiter wissen, als dass er kommutativ ist. Zum anderen dem Ring [mm] $R^{n\times n}$ [/mm] der [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen mit Koeffizienten im Ring R.
> Heißt das jetzt, dass
> [mm]R^{1x1}[/mm] auch für sich einen Ring bildet?
Genau wie [mm] $R^{2\times 2} [/mm] oder [mm] $R^{3\times 3}$ [/mm] bildet auch [mm] $R^{1\times 1}$ [/mm] einen Ring. (Er sieht fast genauso aus wie der Ring R selbst.)
> 3.) Was heißt hier "enthält die ... Gruppe"? Ich dachte
> wir reden hier von dem Ring? Wieso auf einmal Gruppe? und
> wenn wir hier plötzlich von Gruppen reden, bzgl. welcher
> Verknüpfung?
Gemeint ist hier zum einen [mm] $GL_n(R)\subseteq R^{n\times n}$ [/mm] im Sinne von Mengen, zum anderen ist [mm] $GL_n(R)$ [/mm] eine Gruppe mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation (also der Multiplikation im Ring [mm] $R^{n\times n}$) [/mm] als Verknüpfung.
> Warum haben wir überhaupt oben beschrieben
> was ein Ring ist, wenn sich die Aufgaben nur auf Gruppen
> beziehen?
Das weiß ich auch nicht. Vielleicht mehr zur "Allgemeinbildung" als für diese Aufgabe.
> 4.) Zur Menge R* : Sind diese Alphas jetzt
> [mm]R^{nxn}-Matrizen[/mm] die invertierbar sind oder Elemente aus
> [mm]R^{1x1}?[/mm] (siehe Frage 1)
Spezielle Elemente aus R. Man nennt ein Element [mm] $\alpha\in [/mm] R$ invertierbar, wenn ein Element [mm] $\beta\in [/mm] R$ existiert mit [mm] $\alpha\cdot\beta=\beta\cdot\alpha=1$, [/mm] wobei $1$ das neutrale Element von $R$ bezüglich der Multiplikation bezeichne.
Ich bin mir nicht überall sicher, ob ich deine Fragen richtig verstanden habe. Bei Bedarf einfach nachfragen!
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Sin777 |
Super, das hat mir wirklich sehr geholfen :)
Ich hätte noch eine Frage zu einer Definition. Bei uns auf dem Blatt heißt es:
Ist H eine Untergruppe und U [mm] \subseteq [/mm] G zu H konjugiert, so ist auch U eine Untergruppe.
Was genau heißt hier, dass H zu U konjugiert ist? Wenn ich bei Wikipedia nachschaue, dann bezieht sich der Konjugationsbegriff immer nur auf Elemente aus derselben Menge (bzw. sogar Gruppe).
Aber schon jetzt vielen Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mi 02.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ist H eine Untergruppe und U [mm]\subseteq[/mm] G zu H konjugiert,
> so ist auch U eine Untergruppe.
>
> Was genau heißt hier, dass H zu U konjugiert ist? Wenn ich
> bei Wikipedia nachschaue, dann bezieht sich der
> Konjugationsbegriff immer nur auf Elemente aus derselben
> Menge (bzw. sogar Gruppe).
Laut dem Algebra-Buch von Bosch heißen zwei Untergruppen [mm] $H,H'\subseteq [/mm] G$ konjugiert, falls ein [mm] $g\in [/mm] G$ existiert mit [mm] $H'=gHg^{-1}$. [/mm] Unter [mm] $gHg^{-1}$ [/mm] ist dabei die Menge [mm] $\{ghg^{-1}|h\in H\}$ [/mm] zu verstehen.
Ich gehe davon aus, dass es üblich ist, für Teilmengen [mm] $M,N\subseteq [/mm] G$ einer Gruppe $G$ anstelle der Untergruppen $H$ und $H'$ die gleiche Definition zu wählen.
In diesem Sinne stimmt jedenfalls die Aussage mit $H$ und $U$.
Falls du eine Auskunft von jemandem suchst, der es sicher weiß, stelle am besten eine entsprechende Nachfrage.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Sin777 |
D.h. wenn Meine Menge H = [mm] \{a,b,c\} [/mm] wäre und ich will, dass U zu H konjugiert ist, dann wähle ich ein festes g [mm] \in [/mm] G und definiere U = [mm] \{gag^{-1},gbg^{-1},gcg^{-1}\}, [/mm] habe ich das richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mi 02.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> D.h. wenn Meine Menge H = [mm]\{a,b,c\}[/mm] wäre und ich will,
> dass U zu H konjugiert ist, dann wähle ich ein festes g
> [mm]\in[/mm] G und definiere U = [mm]\{gag^{-1},gbg^{-1},gcg^{-1}\},[/mm]
> habe ich das richtig verstanden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Sin777 |
Danke vielmals :) Die Aufgaben sind gar nicht so schwer, wenn man weiß was gemeint ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Sin777 |
Sorry, wenn ich noch einmal nachfrage aber ich hatte mit dem Thema Gruppen zuvor noch nie etwas zu tun und würde noch gerne verstehen, was mit dem Folgenden gemeint ist:
Es sei nun speziell R = [mm] \IZ. [/mm] Dann gibt es eine unendliche abelsche Untergruppe in [mm] SL_{2}(\IZ).
[/mm]
Das heißt doch nicht anderes, als dass ich zeigen soll dass es eine Menge U [mm] \subseteq SL_{2}(\IZ) [/mm] gibt, die mit der Verknüpfung * wieder eine Gruppe bildet. Diese Gruppe soll aber unendlich viele Elemente haben und abelsch sein.
Mich verwirrt nur die Formulierung "IN [mm] \subseteq SL_{2}(\IZ)". [/mm] Meint man mit in eine Teilmenge?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Do 03.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Es sei nun speziell R = [mm]\IZ.[/mm] Dann gibt es eine unendliche
> abelsche Untergruppe in [mm]SL_{2}(\IZ).[/mm]
>
> Das heißt doch nicht anderes, als dass ich zeigen soll
> dass es eine Menge U [mm]\subseteq SL_{2}(\IZ)[/mm] gibt, die mit
> der Verknüpfung * wieder eine Gruppe bildet. Diese Gruppe
> soll aber unendlich viele Elemente haben und abelsch sein.
Das kannst du so tun.
Alternativ kannst du folgendes Untergruppenkriterium verwenden (das meist als Definition einer Untergruppe verwendet wird):
Sei $G$ mit der Verknüpfung [mm] $\cdot$ [/mm] eine Gruppe mit neutralem Element $e$.
Eine Teilmenge [mm] $H\subseteq [/mm] G$ ist eine Untergruppe von G genau dann, wenn
1. [mm] $e\in [/mm] H$
2. [mm] $a,b\in H\Rightarrow a\cdot b\in [/mm] H$
3. [mm] $a\in H\Rightarrow a^{-1}\in [/mm] H$.
> Mich verwirrt nur die Formulierung "IN [mm]\subseteq SL_{2}(\IZ)".[/mm]
Genausogut könnte man schreiben: "Untergruppe VON [mm] SL_2(\IZ)".
[/mm]
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