Verständnis zu Mengen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Lovella |
| Aufgabe | | ich habe fragen zum thema offene und abgeschlossene mengen |
die definitionen sind ja gut und schön, z.b. "eine menge [mm] M\subset \IR^n [/mm] heißt offen, wenn jeder punkt [mm] x\in [/mm] M eine umgebung hat, die ganz in M enthalten ist."
i) aber wie kann man diese definition anwenden?
ii) und ist das eine "nomale" umgebung oder eine [mm] \varepsilon [/mm] -umgebung? und wo liegt da der unterschied?
möchtet ihr mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> ich habe fragen zum thema offene und abgeschlossene mengen
> die definitionen sind ja gut und schön, z.b. "eine menge
> [mm]M\subset \IR^n[/mm] heißt offen, wenn jeder punkt [mm]x\in[/mm] M eine
> umgebung hat, die ganz in M enthalten ist."
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> i) aber wie kann man diese definition anwenden?
Dann gib dir doch ein Beispiel. Z.B. sei [mm] $M=\{x,y \in \IR, x^2+y^2<1\}$. [/mm] Die Menge stellt einen Kreis dar, aber ohne den Rand. Ist diese Menge offen? Dies ist tatsächlich so (siehe auch Wikipedia offene Menge), da du eine beliebig kleine Umgebung um den Punkt wählen kannst, der ganz im Kreis liegt und keine Punkte des Randes enthält. Die Menge [mm] $M=\{x,y \in \IR, x^2+y^2=1\}$ [/mm] ist ja der Rand, bzw mit kleiner gleich wäre der Rand dann in der Menge enthalten. Ist diese Menge offen? Wohl kaum, denn der Rand ist ja so definiert, dass jede [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] um einen Randpunkt sowohl Punkte innerhalb als auch außerhalb enthält. Also weißt du direkt, dass eine Menge, die ihren Rand enthält, nicht offen sein kann. Usw. Wenn du also Mengen gegeben hast, musst du dir meist graphisch überlegen, ob du Punkte findest, die eine beliebig kleine Umgebung enthalten, die nicht mehr ganz in deiner gegebenen Menge liegt. Notfalls musst du es eben argumentativ bzw rechnerisch abstrakt für interessante Punkte prüfen.
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> ii) und ist das eine "nomale" umgebung oder eine
> [mm]\varepsilon[/mm] -umgebung? und wo liegt da der unterschied?
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Was meinst du genau? Achso, weil in deiner Definition nur von Umgebung die Rede ist? Also bei uns in Mathe II war damit eine Epsilon-Umgebung, also je nach Dimension ein Intervall bis eine Kugel gemeint. Das ist sicherlich aber nicht der springende Punkt, auch wenn natürlich wichtig ist, was genau mit Umgebung gemeint ist, du kannst aber schon von einem geschlossenen Intervall ausgehen bzw von einer Umgebung kleiner einem gegeben [mm] $\epsilon$
[/mm]
> möchtet ihr mir helfen?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:10 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Lovella |
vielen danke Adamantin! das hilft mir weiter.
dann hab ich noch eine frage zu geschlossenen mengen, die nicht auf einmal stellen wollte. "eine abgeschlossene menge [mm] M\subset \IR [/mm] heißt abgeschlossen, wenn jede konvergente folge von punkten [mm] x_k\in [/mm] M gegen einen Grenzwert in M strebt."
ist diese definition dann auch eher theoretischer natur? also [0,1] ist abgeschlossen, heißt es. Aber nicht weil, es zu 0 und 1 keine [mm] \varepsilon [/mm] -umgebungen gibt, die ganz in [0,1] sind, oder? also das gegenteil von offen ist nicht geschlossen und umgekert oder?
was wären denn "(konvergente) folgen von punkten" in so einer menge? dies kann ich mir überhaupt nicht vorstellen, was damit gemeint ist, nicht mal im [mm] \IR^2 [/mm] ![[knirsch]](/images/smileys/knirsch.gif "[knirsch]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Sa 10.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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