Verständnisfrage < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Steffy |
| Aufgabe | | Beweise den Satz über den SChnittpunkt der Mittelsenkrechten eines nicht ausgearteten Dreiecks der reellen euklidischen Ebene mit Hilfe des Dreispiegelungssatzes |
Hallo Zusammen,
den Beweis zur obigen Aufgabe habe ich zwar, aber ich verstehe leider einige Schritte nicht.
Könnte mir vielleicht die Schritte erklären, die ich nicht kapiere? Wäre echt super von euch.
Also der Beweis lautet:
Bezeichne die Mittelsenkrechten eines Dreiecks ABC mit [mm] m_{a}, m_{b}, m_{c}.
[/mm]
Betrachte zunächst [mm] m_{a} [/mm] und [mm] m_{b}. [/mm] Diese schneiden sich in genau einem Punkt S, da das Dreieck sonst ausgeartet wäre. Definiere die Gerade g:=CS. Nach dem Dreispiegelungssatz ist [mm] \gamma [/mm] = [mm] \delta_{m_{a}} \circ \delta_{g} \circ \delta_{m_{b}} [/mm] Geradenspiegelung, weil sich die Geraden in genau einem Punkt schneiden, nämlich S.
Es gilt:
[mm] \gamma(A) [/mm] = [mm] \delta_{m_{a}} \circ \delta_{g} \circ \delta_{m_{b}}(A)
[/mm]
= [mm] \delta_{m_{a}} \circ \delta_{g}(C)
[/mm]
= [mm] \delta_{m_{a}}(C)=B
[/mm]
.......
Was ich nicht verstehe ist, wie man
[mm] \gamma(A) [/mm] = [mm] \delta_{m_{a}} \circ \delta_{g} \circ \delta_{m_{b}}(A)
[/mm]
= [mm] \delta_{m_{a}} \circ \delta_{g}(C)
[/mm]
= [mm] \delta_{m_{a}}(C)=B
[/mm]
von Gleichheitszeich zu Gleichheitszeichen reduzieren kann.
Könnte mir da bitte jemand weiter helfen??
Vielen lieben Dank im voraus
|
|
| |
|
> Beweise den Satz über den SChnittpunkt der
> Mittelsenkrechten eines nicht ausgearteten Dreiecks der
> reellen euklidischen Ebene mit Hilfe des
> Dreispiegelungssatzes
> Hallo Zusammen,
>
> den Beweis zur obigen Aufgabe habe ich zwar, aber ich
> verstehe leider einige Schritte nicht.
>
>
> Könnte mir vielleicht die Schritte erklären, die ich nicht
> kapiere? Wäre echt super von euch.
>
> Also der Beweis lautet:
>
> Bezeichne die Mittelsenkrechten eines Dreiecks ABC mit
> [mm]m_{a}, m_{b}, m_{c}.[/mm]
> Betrachte zunächst [mm]m_{a}[/mm] und [mm]m_{b}.[/mm]
> Diese schneiden sich in genau einem Punkt S, da das Dreieck
> sonst ausgeartet wäre. Definiere die Gerade g:=CS. Nach dem
> Dreispiegelungssatz ist [mm]\gamma[/mm] = [mm]\delta_{m_{a}} \circ \delta_{g} \circ \delta_{m_{b}}[/mm]
> Geradenspiegelung, weil sich die Geraden in genau einem
> Punkt schneiden, nämlich S.
> Was ich nicht verstehe ist, wie man
> [mm]\gamma(A) = \delta_{m_{a}} \circ \delta_{g} \circ \delta_{m_{b}}(A) \red{=} \delta_{m_{a}} \circ \delta_{g}(C)\blue{=}\delta_{m_{a}}(C)\green{=}B[/mm]
> von Gleichheitszeich zu Gleichheitszeichen reduzieren
> kann.
>
Das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund der Definition von [mm] $\gamma$.
[/mm]
[mm] $\delta_{m_{b}}$ [/mm] ist die Spiegelung an der Mittelsenkrechten [mm] $m_b$ [/mm] der Seite $AC$, also geht bei dieser Spiegelung die Ecke $A$ in die Ecke $C$ über: [mm] $\delta_{m_{b}}(A)\red{=}C$, [/mm] daher gilt das zweite Gleichheitszeichen, [mm] $\red{=}$.
[/mm]
Die Ecke $C$ ist aber ein Punkt auf der Geraden $g$, also ein Fixpunkt bei der Spiegelung [mm] $\delta_g$. [/mm] Es ist somit [mm] $\delta_g(C)\blue{=}C$, [/mm] daher gilt das dritte Gleichheitszeichen, [mm] $\blue{=}$.
[/mm]
[mm] $\delta_{m_{a}}$ [/mm] ist die Spiegelung an der Mittelsenkrechten [mm] $m_a$ [/mm] der Seite $BC$, also geht bei dieser Spiegelung die Ecke $C$ in die Ecke $B$ über: [mm] $\delta_{m_{a}}(C)\green{=}B$, [/mm] daher gilt das vierte Gleichheitszeichen, [mm] $\green{=}$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Vielen lieben Dank für die Erklärung.
Jetzt hab ich endlich verstanden.
Du hast mir mit deiner Erklärung sehr geholfen
Gruß, Steffy
|
|
|
|
