Verständnisfrage < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man gebe für jedes [mm] n\in \{1,2,3,4,5\} [/mm] eine Menge M von Matrizen an,sodass
a) die Matrizen A [mm] \in [/mm] M Blockmatrizen sind, die aus Jordan-Blöcken bestehen und
b) jede komplexe n [mm] \times [/mm] n Matrix,die nur 1 als Eigenwert hat, zu genau einer Matrix A [mm] \in [/mm] M ähnlich ist. |
Hallo^^
Ich will die Aufgabe machen, aber ich habe ein Verständnisproblem.Es steht in der Aufgae nicht was das n sein soll. Soll ich bei der a) 5 Mengen bestimmen, die jeweils 1,2,3,4 und 5 Matrizen enthalten, die aus Jordan Blöcken bestehen? Oder sollen es n [mm] \times [/mm] n Matrizen sein?
Ich versteh den Sinn von Teil a) nicht.
Oder ist es so gemeint, dass a) und b) zusammengehören?
Vielleicht versteht ja jemand was gemeint ist.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man gebe für jedes [mm]n\in \{1,2,3,4,5\}[/mm] eine Menge M von
> Matrizen an,sodass
>
> a) die Matrizen A [mm]\in[/mm] M Blockmatrizen sind, die aus
> Jordan-Blöcken bestehen und
> b) jede komplexe n [mm]\times[/mm] n Matrix,die nur 1 als Eigenwert
> hat, zu genau einer Matrix A [mm]\in[/mm] M ähnlich ist.
> Hallo^^
>
> Ich will die Aufgabe machen, aber ich habe ein
> Verständnisproblem.Es steht in der Aufgae nicht was das n
> sein soll. Soll ich bei der a) 5 Mengen bestimmen, die
> jeweils 1,2,3,4 und 5 Matrizen enthalten, die aus Jordan
> Blöcken bestehen?
> Oder sollen es n [mm]\times[/mm] n Matrizen sein?
Ja
> Ich versteh den Sinn von Teil a) nicht.
> Oder ist es so gemeint, dass a) und b) zusammengehören?
Na klar.
FRED
> Vielleicht versteht ja jemand was gemeint ist.
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Do 24.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok. Ich habs jetzt mal versucht.
Zunächst haben wir n=1. Ich hab mir zuerst überlegt,welche komplexen 1 [mm] \times [/mm] 1 Matrizen es gibt, die nur 1 als Eigenwert haben. Das ist nur die Matrix B=(1+0*i),also B=(1). Wenn diese nun ähnlich zu einer Matrix A [mm] \in [/mm] M sein soll,muss gelten: [mm] B=Q*A*Q^{-1}, [/mm] wobei Q [mm] \in [/mm] Gln(K). Daraus folgt eigentlich schon, dass A=1 sein muss.
Kann das so stimmen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mi 06.04.2011 | | Autor: | pelzig |
Das ist schon alles richtig. Noch einfacher: Es gibt nur eine Matrix [mm] $A\in GL(1,\IC)$, [/mm] die nur den Eigenwert $1$ besitzt, nämlich die Einheitsmatrix $(1)$.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
ich hab das ganze jetzt mal für n=2 versucht,aber es klappt nicht so richtig.
Zunächst muss ich herausfinden, welche komplexen 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrizen es gibt, die nur 1 als Eigenwert haben. Das find ich schon schwierig.Ich hab diese Matrizen mal mit B benannt und die Determinante berechnet,also so:
[mm] det(\lambda*E_{2}-B)=det(\pmat{ \lambda-a_{11} & -a_{12} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} })= (\lambda-a_{11})*(\lambda-a_{22})-(a_{12}*a_{21}).
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht, wie ich die [mm] a_{11} [/mm] usw. rauskriegen soll, denn ich hab keine weiteren Informationen gegeben.
Die Matrizen A [mm] \in [/mm] M sehen so aus: [mm] A=\pmat{ \mu & 1 \\ 0 & \mu }. [/mm] Wenn jetzt B zu genau einer Matrix A [mm] \in [/mm] M ähnlich sein soll, muss gelten: [mm] B=Q*A*Q^{-1}.
[/mm]
Aber um das A bestimmen zu könnnen,muss ich B haben.
Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich weitermachen kann?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Mi 06.04.2011 | | Autor: | pelzig |
Du denkst viel zu kompliziert. Zwei komplexe Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn ihre JNF übereinstimmen (bis auf vertauschen der Blöcke usw). Also wähle als M einfach die Menge aller möglichen JNF. Wegen der Bedinung a) ist [mm]M=M_n[/mm] dabei stets endlich, es ist vielmehr ein kombinatorisches Problem! Zum Beispiel:
[mm]M_2=\left\{\pmat{1&0\\
0&1},\pmat{1&1\\
0&1}\right\}[/mm]
[mm]M_3=\left\{\pmat{1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1},\pmat{1&1&0\\
0&1&0\\
0&0&1},\pmat{1&1&0\\
0&1&1\\
0&0&1}\right\}[/mm]
So ich hoffe du erkennst das Prinzip. Nun überlege für [mm]n=4,5[/mm]. Wie viele Möglichkeiten gibt es für allgemeines [mm]n[/mm]?!
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
> Du denkst viel zu kompliziert. Zwei komplexe Matrizen sind
> genau dann ähnlich, wenn ihre JNF übereinstimmen (bis auf
> vertauschen der Blöcke usw). Also wähle als M einfach die
Gut zu wissen.
> Menge aller möglichen JNF. Wegen der Bedinung a) ist [mm]M=M_n[/mm]
> dabei stets endlich, es ist vielmehr ein kombinatorisches
> Problem! Zum Beispiel:
>
> [mm]M_2=\left\{\pmat{1&0\\
0&1},\pmat{1&1\\
0&1}\right\}[/mm]
>
> [mm]M_3=\left\{\pmat{1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1},\pmat{1&1&0\\
0&1&0\\
0&0&1},\pmat{1&1&0\\
0&1&1\\
0&0&1}\right\}[/mm]
>
> So ich hoffe du erkennst das Prinzip. Nun überlege für
> [mm]n=4,5[/mm]. Wie viele Möglichkeiten gibt es für allgemeines
> [mm]n[/mm]?!
Ich denke,ich habe das Prinzip durchschaut und habe jetzt
[mm] M_{4}=\{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }\} [/mm]
[mm] M_{5}=\{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }\}.
[/mm]
Für allgemeines n müsste es n Möglichkeiten geben.
So, jetzt sehe ich schonmal, dass die Matrizen aus den Mengen [mm] M_{i}. [/mm] i=1,...,5 Blockmatrizen sind, die aus Jordan-Blöcken bestehen.
Aber woher weiß ich denn, dass jede komplexe n [mm] \times [/mm] n Matrix,die nur 1 als Eigenwert hat, zu genau einer Matrix A [mm] \in M_{i} [/mm] ähnlich ist?
Nehmen wir z.B. n=2. Dann hätte ich als komplexe Matrix,die nur 1 als Eigenwert hat, die Einheitsmatrix. Und diese ist ähnlich zu sich selbst.
Allgemein kann ich doch sagen, dass jede komplexe Matrix,die nur 1 als Eigenwert hat, immer nur zur Einheitsmatrix [mm] E_{n} [/mm] ähnlich ist oder?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Do 07.04.2011 | | Autor: | pelzig |
> Ich denke,ich habe das Prinzip durchschaut und habe jetzt>
> [mm]M_{4}=\{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 }\}[/mm]
Da fehlt noch die Matrix mit zwei 2er-Kästchen, also
[mm]\pmat{1&1&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&1\\
0&0&0&1}[/mm]
> [mm]M_{5}=\{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 }\}.[/mm]
Da fehlen noch genau zwei: die mit zwei 2er-Kästchen und die mit einem 3er- und einem 2er-Kästchen.
> Für allgemeines n müsste es n Möglichkeiten geben.
Nein.
> So, jetzt sehe ich schonmal, dass die Matrizen aus den
> Mengen [mm]M_{i}.[/mm] i=1,...,5 Blockmatrizen sind, die aus
> Jordan-Blöcken bestehen.
> Aber woher weiß ich denn, dass jede komplexe n [mm]\times[/mm] n
> Matrix,die nur 1 als Eigenwert hat, zu genau einer Matrix A
> [mm]\in M_{i}[/mm] ähnlich ist?
Nein! Also nochmal. Jede Matrix ist ähnlich zu ihrer JNF (die es auch immer gibt, da wir ja über [mm]\IC[/mm] arbeiten). Da die Matrix aber nur [mm]1[/mm] als Eigenwert hat, hat die JNF auf der Diagonalen nur 1en, jetzt gibt es aber i.A. noch mehrere Möglichkeiten für die Nebendiagonale und darum genau geht es hier.
> Nehmen wir z.B. n=2. Dann hätte ich als komplexe
> Matrix,die nur 1 als Eigenwert hat, die Einheitsmatrix. Und
> diese ist ähnlich zu sich selbst.
> Allgemein kann ich doch sagen, dass jede komplexe
> Matrix,die nur 1 als Eigenwert hat, immer nur zur
> Einheitsmatrix [mm]E_{n}[/mm] ähnlich ist oder?
Nein! Es gibt eben für [mm]n\ge 2[/mm] Matrizen, die nicht ähnlich zur Einheitsmatrix sind (das ist sowieso nur die Einheitsmatrix, da sie mit allen Matrizen kommutiert), zum Beispiel
[mm]\pmat{1&1\\
0&1}[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Do 07.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man gebe für jedes [mm] n\in \{2,3,4,5\} [/mm] eine Menge M von Matrizen an,sodass
a) die Matrizen A [mm] \in [/mm] M Blockmatrizen sind, die aus Jordan-Blöcken bestehen und
b) jede komplexe n [mm] \times [/mm] n Matrix,die genau 0 und 1 als Eigenwert hat, zu genau einer Matrix A [mm] \in [/mm] M ähnlich ist. |
Hallo pelzig,
vielen Dank für deine Hilfe.
> [mm]M_{5}=\{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 }\}.[/mm]
>
> Da fehlen noch genau zwei: die mit zwei 2er-Kästchen und
> die mit einem 3er- und einem 2er-Kästchen.
> > Für allgemeines n müsste es n Möglichkeiten geben.
> Nein.
Meinst du [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] ?
Jetzt ist die Aufgabenstellung etwas abgeändert. Die komplexen Matrizen müssen jetzt 0 und 1 als Eigenwerte haben. Wir hatten gesagt, dass jede Matrix zu ihrer JNF ähnlich ist. Dann können die JNF's jetzt nicht mehr nur 1en auf der Hauptdiagonalen haben oder?
Vielen Dank
lg
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> Man gebe für jedes [mm]n\in \{2,3,4,5\}[/mm] eine Menge M von
> Matrizen an,sodass
>
> a) die Matrizen A [mm]\in[/mm] M Blockmatrizen sind, die aus
> Jordan-Blöcken bestehen und
> b) jede komplexe n [mm]\times[/mm] n Matrix,die genau 0 und 1 als
> Eigenwert hat, zu genau einer Matrix A [mm]\in[/mm] M ähnlich ist.
[mm]M_{5}=\{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 }\}.[/mm]
>
>
> Meinst du [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
> und [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
Hallo,
ja, die meint er.
> Jetzt ist die Aufgabenstellung etwas abgeändert. Die
> komplexen Matrizen müssen jetzt 0 und 1 als Eigenwerte
> haben. Wir hatten gesagt, dass jede Matrix zu ihrer JNF
> ähnlich ist. Dann können die JNF's jetzt nicht mehr nur
> 1en auf der Hauptdiagonalen haben oder?
Richtig.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> ja, die meint er.
>
> > Jetzt ist die Aufgabenstellung etwas abgeändert. Die
> > komplexen Matrizen müssen jetzt 0 und 1 als Eigenwerte
> > haben. Wir hatten gesagt, dass jede Matrix zu ihrer JNF
> > ähnlich ist. Dann können die JNF's jetzt nicht mehr nur
> > 1en auf der Hauptdiagonalen haben oder?
>
> Richtig.
Ok, ich hab versucht für n=2 und n=3 eine solche Menge von Matrizen zu finden und habe [mm] M_{2}=\left\{\pmat{1&0\\ 0&0},\pmat{1&1\\ 0&0}\right\} [/mm] und [mm] M_{3}=\left\{\pmat{1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1},\pmat{1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0},\pmat{0&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1}\right\}.
[/mm]
Stimmt das so?
Vielen Dank
lg
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> > > Jetzt ist die Aufgabenstellung etwas abgeändert. Die
> > > komplexen Matrizen müssen jetzt 0 und 1 als Eigenwerte
> > > haben. Wir hatten gesagt, dass jede Matrix zu ihrer JNF
> > > ähnlich ist.
>
> Ok, ich hab versucht für n=2 und n=3 eine solche Menge von
> Matrizen zu finden und habe [mm]M_{2}=\left\{\pmat{1&0\\
0&0},\red{\pmat{1&1\\
0&0}}\right\}[/mm]
> und [mm]M_{3}=\left\{\pmat{1&0&0\\
0&0&0\\
0&0&1},\pmat{1&1&0\\
0&1&0\\
0&0&0}\red{,\pmat{0&1&0\\
0&1&1\\
0&0&1}}\right\}.[/mm]
>
Hallo,
Du suchst jetzt sämtliche JNFen von Matrizen, die die Eigenwerte 0 und 1 (und keine sonst) haben.
Die rotmarkierten Matrizen sind keine JNFen, und bei [mm] M_3 [/mm] hast Du die Matrizen, die den einfachen EW 1 und den doppelten EW 0 haben, nicht aufgeführt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> > > > Jetzt ist die Aufgabenstellung etwas abgeändert. Die
> > > > komplexen Matrizen müssen jetzt 0 und 1 als Eigenwerte
> > > > haben. Wir hatten gesagt, dass jede Matrix zu ihrer JNF
> > > > ähnlich ist.
> >
> > Ok, ich hab versucht für n=2 und n=3 eine solche Menge von
> > Matrizen zu finden und habe [mm]M_{2}=\left\{\pmat{1&0\\
0&0},\red{\pmat{1&1\\
0&0}}\right\}[/mm]
> > und [mm]M_{3}=\left\{\pmat{1&0&0\\
0&0&0\\
0&0&1},\pmat{1&1&0\\
0&1&0\\
0&0&0}\red{,\pmat{0&1&0\\
0&1&1\\
0&0&1}}\right\}.[/mm]
>
> >
>
> Hallo,
>
> Du suchst jetzt sämtliche JNFen von Matrizen, die die
> Eigenwerte 0 und 1 (und keine sonst) haben.
> Die rotmarkierten Matrizen sind keine JNFen, und bei [mm]M_3[/mm]
> hast Du die Matrizen, die den einfachen EW 1 und den
> doppelten EW 0 haben, nicht aufgeführt.
>
Ok. Für [mm] M_{3} [/mm] hab ich dann noch [mm] \pmat{1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0},\pmat{0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1},
[/mm]
und [mm] M_{4}=\{\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 },\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 },\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }\}.
[/mm]
Hab ich jetzt noch welche vergessen?
lg
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> >
> > > > > Jetzt ist die Aufgabenstellung etwas abgeändert. Die
> > > > > komplexen Matrizen müssen jetzt 0 und 1 als Eigenwerte
> > > > > haben. Wir hatten gesagt, dass jede Matrix zu ihrer JNF
> > > > > ähnlich ist.
> > >
> > > Ok, ich hab versucht für n=2 und n=3 eine solche Menge von
> > > Matrizen zu finden und habe [mm]M_{2}=\left\{\pmat{1&0\\
0&0},\red{\pmat{1&1\\
0&0}}\right\}[/mm]
> > > und [mm]M_{3}=\left\{\pmat{1&0&0\\
0&0&0\\
0&0&1},\pmat{1&1&0\\
0&1&0\\
0&0&0}\red{,\pmat{0&1&0\\
0&1&1\\
0&0&1}}\right\}.[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Hallo,
> >
> > Du suchst jetzt sämtliche JNFen von Matrizen, die die
> > Eigenwerte 0 und 1 (und keine sonst) haben.
> > Die rotmarkierten Matrizen sind keine JNFen, und bei
> [mm]M_3[/mm]
> > hast Du die Matrizen, die den einfachen EW 1 und den
> > doppelten EW 0 haben, nicht aufgeführt.
> >
>
> Ok. Für [mm]M_{3}[/mm] hab ich dann noch [mm]\pmat{\green{1}&0&0\\
0&\blue{0&\blue{1}}\\
0&\blue{0}&\blue{0}},\pmat{\blue{0}&\blue{1}&0\\
\blue{0}&\blue{0}&0\\
0&0&\green{1}},[/mm]
Hallo,
die unterscheiden sich doch nur durch die Reihenfolge der Jordanblöcke.
>
> und [mm]M_{4}=\{\green{\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 }},\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 },\blue{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 },}\green{\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 },}\blue{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 }\}}.[/mm]
Die gleichfarbigen unterscheiden sich nur durch die Reihenfolge der Blöcke.
Zur schwarzen: bei Euch scheinen die Einsen bei der JNF ja über der Diagonalen zu stehen, bei dieser stehen sie darunter. Die hat also in Deiner "Systematik" nichts zu suchen.
>
> Hab ich jetzt noch welche vergessen?
Ja.
Du gehst das ganze entsetzlich unsystematisch an, und deshalb kommst Du nicht auf einen grünen Zweig.
Du hast doch die Möglichkeiten
1 ist einfacher EW und 0 dreifacher,
1 ist zweifacher EW und 0 zweifacher,
1 ist dreifacher EW und 0 einfacher.
Die Vorarbeiten dafür, nun die JNFen systematisch aufzuschreiben, hast Du in der ersten Teilaufgabe doch schon erledigt. Warum nun dieses planlose Gewurschtel?
Oder überleg Dir halt, welche Möglichkeiten für die Dimensionen der Eigenräume Du hast.
Gruß v. Angela
>
> lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Sa 09.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Angela:
Nen kleiner Tipp:
Mit \left( , \left[ , \left\{ bzw. \right) ; \right] ; \right\} kannst du die Klammern an die Terme dazwischen anpassen.
Also z.B.
[mm] \left(\frac{2}{3}\right)^{5} [/mm]
Oder eben:
[mm] M_{4}=\left\{ \green{\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 }},\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 },\blue{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 },}\green{\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 },}\blue{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 } \right\} [/mm].
Marius
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