Verstaendnisfrage bei Flaeche < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die von den angegebenen Funktionen eingeschlossene (endliche) Fläche
i) $xy = 4, x = 1, x = 4, y = 0$
ii) [mm] $4(y^2 [/mm] - [mm] x^2) [/mm] + [mm] x^3 [/mm] = 0$ |
Hallo,
ich verstehe hier nicht welche Flaeche gemeint ist. Bei i) ist es ja noch ganz klar. Die Flaeche kann man ja noch gut zeichnen und sich vorstellen da hier ja auch noch Grenzen angegeben sind.
Die ii) finde ich etwas komisch. Hier sind ja nicht mal Grenzen angegeben.
Ist bei der Aufgabe die Flaeche gemeint, die im ersten Quadranten von i) und ii) gleichzeitig eingeschlossen werden?
Das hab ich nun einfach mal angenommen und folgendes gemacht:
$xy=4$ habe ich umgestellt und habe nun $f(x) = [mm] \frac{4}{x}$, [/mm] das kann man ja mit den Grenzen gut integrieren.
[mm] $4(y^2 [/mm] - [mm] x^2) [/mm] + [mm] x^3 [/mm] = 0$ habe ich nach [mm] $\pm y=\wurzel{x^2-\frac{x^3}{4}}$ [/mm] umgestellt.
Reicht es nun einfach die beiden Funktionen in dem Intervall [1,4] zu integrieren und voneinander abzuziehen?
Gruss
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Hallo,
> Berechnen Sie die von den angegebenen Funktionen
> eingeschlossene (endliche) Fläche
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> i) [mm]xy = 4, x = 1, x = 4, y = 0[/mm]
> ii) [mm]4(y^2 - x^2) + x^3 = 0[/mm]
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> [mm]xy=4[/mm] habe ich umgestellt und habe nun [mm]f(x) = \frac{4}{x}[/mm],
> das kann man ja mit den Grenzen gut integrieren.
> [mm]4(y^2 - x^2) + x^3 = 0[/mm] habe ich nach [mm]\pm y=\wurzel{x^2-\frac{x^3}{4}}[/mm]
> umgestellt.
>
> Reicht es nun einfach die beiden Funktionen in dem
> Intervall [1,4] zu integrieren und voneinander abzuziehen?
>
> Gruss
Ich verstehe das eigentlich als zwei getrennte Aufgaben.
In (i) machst du ja eigentlich schon alles, was nötig ist und kannst mit dem Integral die eingeschlossene Fläche berechnen.
In (ii) formst du richtig um und bekommst mit [mm]y=\pm\wurzel{x^2-\frac{x^3}{4}}[/mm] zwei Funktionen, die auch eine Fläche einschließen. Da die beiden natürlich symmetrisch zur x-Achse sind, kannst du also durch das Integral über eine der beiden Funktionen die Hälfte dieser Fläche berechnen. Wegen dieser Symmetrie schließen die beiden aber nur dann eine Fläche ein, wenn sie die x-Achse schneiden (wenn du das mal zeichnen lässt, wird das klar, denke ich). Also kannst du mit diesen Schnittpunkten die Integrationsgrenzen finden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
weightgainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Berechnen Sie die von den angegebenen Funktionen
> eingeschlossene (endliche) Fläche
>
> i) [mm]xy = 4, x = 1, x = 4, y = 0[/mm]
> ii) [mm]4(y^2 - x^2) + x^3 = 0[/mm]
>
> Hallo,
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> ich verstehe hier nicht welche Flaeche gemeint ist. Bei i)
> ist es ja noch ganz klar. Die Flaeche kann man ja noch gut
> zeichnen und sich vorstellen da hier ja auch noch Grenzen
> angegeben sind.
> Die ii) finde ich etwas komisch. Hier sind ja nicht mal
> Grenzen angegeben.
> Ist bei der Aufgabe die Flaeche gemeint, die im ersten
> Quadranten von i) und ii) gleichzeitig eingeschlossen
> werden?
Die Aufgabenstellung ist wirklich nicht besonders gut
formuliert. Es wird nicht wirklich klar, dass es sich bei
den Teilen i) und ii) um zwei getrennte Aufgaben
handeln soll.
Zudem sind (in beiden Aufgaben) gar nicht Funktionen,
sondern Gleichungen bzw. Relationen für Punkte (x,y) in
der Ebene gegeben. Ich würde dich gerne bitten, die
Lehrkraft auf diesen begrifflichen Fehler hinzuweisen,
denn der Begriff der Funktion ist doch in der Mathematik
ein wirklich grundlegender, den man insbesondere korrekt
verwenden soll, wenn man Mathe lehrt.
Die Gleichung in ii) ist, wie weightgainer schon erklärt
hat, eine Kurve, die mit ihrer Schleife ein endliches
Flächenstück umschliesst, dessen Flächeninhalt man
berechnen kann - so wie man auch den Flächeninhalt
eines Kreises (besser gesagt der Kreisscheibe, die vom
Kreis umschlossen wird) berechnet.
LG Al-Chw.
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