Verständnisfrage zu gew. DGL's < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Di 04.08.2009 | | Autor: | deex |
Hallo leute, also ich habe nächste Woche mündliche Prüfung in Mathe und hätte da noch die eine oder andere Verständnisfrage (werd wohl bis nächste Woche hier ein paar Fragen loswerden)
1. Existenzsatz von Peano
Der Satz von Peano sagt ja das ein AWP der Form: [mm]\dot x = f(t,x)[/mm] mit [mm]x(t_{0})=x_{0}[/mm] eine Lösung hat, wenn [mm]W\subset\IR \times \IR^{N}[/mm] offen, [mm]f: W\to\IR[/mm] stetig ist und [mm](t_{0}, x_{0})\in W[/mm]
Wenn ich jetzt zBsp.: [mm]\dot x = x^{2}[/mm] löse bekomme ich ja sowas wie [mm] x = \bruch{1}{c-t} [/mm] heraus. Diese Lösung ist ja bei [mm]t=c[/mm] nicht definiert und somit auch nicht stetig. Und für AWP der Form [mm]x(t_{0})=0[/mm] finde ich ja allg. keine Lösung.
Heißt das jetzt, dass wenn die Allg. Lösung der DGL eine Unstetigkeit besitzt, ich mir nie sicher sein ob ich kann ob ich zu einem AWP eine Lösung finde bzw überhaupt eine existiert?
2. Maximale Lösungen
Wir haben im Script aufgeschrieben , das eine Lösung maximal heißt, wenn sie keine echte Fortsetzung besitzt.
Wie soll ich mir überhaupt eine Fortsetzung einer Lösung einer DGL vorstellen?
Um auf das oben genannte Beispiel zu kommen -> man nehme als AWP [mm]x(0)=1[/mm]. Dann ist meine Lösung [mm] x = \bruch{1}{1-t} [/mm]. Ist das jetzt eine Maximale Lösung oder hmmm?
3. Grönwallsche Ungleichung
Die sagt ja sowas wie [mm]F(x,y) : G \to K^{n}[/mm] stetig in erster Variable und lipschitzstetig bezüglich der zweiten Variable, dann besitzt AWP höchstens eine Lsg.
D.h. wenn ich eine DGL mit AWP habe und ich mit Peano zeigen konnte das f stetig, dann heißt das ja das ich eine Lösung finde. Wenn ich jetzt noch zeigen kann das f bezüglich der zweiten Variable lipschitz-stetig ist, dann heißt das ja das die gefunden lösung eindeutig ist - weil ich ja laut grönwall nur höchstens eine Lsg finden kann. grönwall alleine sagt mir aber nichts über die existenz einer lösung. Ist das so richtig?
4. Satz von Picard-Lindelöf
der sag ja soviel wie: wenn f stetig und f bezügl. 2ter Variable lipschitzstetig, dann ist das AWP eindeutig lösbar.
Ist das nicht bloß die Zusammenfassung von Piano und Grönwall?
ich hoffe das mir vllt. der eine oder andere ein wenig klarheit verschaffen kann :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Di 04.08.2009 | | Autor: | pelzig |
> Hallo leute, also ich habe nächste Woche mündliche
> Prüfung in Mathe und hätte da noch die eine oder andere
> Verständnisfrage (werd wohl bis nächste Woche hier ein
> paar Fragen loswerden)
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> 1. Existenzsatz von Peano
> Der Satz von Peano sagt ja das ein AWP der Form: [mm]\dot x = f(t,x)[/mm]
> mit [mm]x(t_{0})=x_{0}[/mm] eine Lösung hat, wenn [mm]W\subset\IR \times \IR^{N}[/mm]
> offen, [mm]f: W\to\IR[/mm] stetig ist und [mm](t_{0}, x_{0})\in W[/mm]
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> Wenn ich jetzt zBsp.: [mm]\dot x = x^{2}[/mm] löse bekomme ich ja
> sowas wie [mm]x = \bruch{1}{c-t}[/mm] heraus. Diese Lösung ist ja
> bei [mm]t=c[/mm] nicht definiert und somit auch nicht stetig.
Die Lösung für das AWP [mm] $\dot x=x^2$ [/mm] mit [mm] $x(t_0)=x_0$ [/mm] erhälst du für [mm] $x_0\ne [/mm] 0$ durch Trennung der Variablen und lautet [mm] $x(t)=\frac{1}{t_0-t-1/x_0}$ [/mm] für [mm] $x_0\ne [/mm] 0$. Die Lösung ist also da wo sie definiert ist auch immer stetig (hier sogar glatt), lässt sich aber nicht auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] fortsetzen weil sie in [mm] $t=t_0-1/x_0$ [/mm] eine Polstelle hat.
> für AWP der Form [mm]x(t_{0})=0[/mm] finde ich ja allg. keine
> Lösung.
Für [mm] x_0=0 [/mm] lautet eine (die) Lösung $x(t)=0$ für alle [mm] $t\in\IR$.
[/mm]
> Heißt das jetzt, dass wenn die Allg. Lösung der DGL eine
> Unstetigkeit besitzt, ich mir nie sicher sein ob ich kann
> ob ich zu einem AWP eine Lösung finde bzw überhaupt eine
> existiert?
Das ist Unsinn. Der Satz von Peano sagt dir doch: wenn das "Vektorfeld" stetig ist, dann existiert zu jedem Anfangswertproblem lokal eine Lösung.
> 2. Maximale Lösungen
> Wir haben im Script aufgeschrieben , das eine Lösung
> maximal heißt, wenn sie keine echte Fortsetzung besitzt.
>
> Wie soll ich mir überhaupt eine Fortsetzung einer Lösung
> einer DGL vorstellen?
Bleiben wir mal bei der DGL von oben, betrachte [mm] $t_0=0, x_0=1$. [/mm] Dann ist eine Lösung gegeben durch [mm] $$\varphi:(-1/2,1/2)\ni t\mapsto -\frac{1}{t+1}\in\IR$$ [/mm] Eine Fortsetzung wäre [mm] $$\psi:\red{(-1,1)}\ni t\mapstohi-\frac{1}{t+1}\in\IR$$ [/mm] d.h. [mm] $\psi$ [/mm] und [mm] $\varphi$ [/mm] stimmen auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich überein und [mm] $(-1/2,1/2)\subset [/mm] (-1,1)$. Die maximale Lösung ist [mm] $$\xi:\blue{(-1,\infty)}\ni t\mapsto -\frac{1}{t+1}\in\IR$$.
[/mm]
> 3. Grönwallsche Ungleichung
> Die sagt ja sowas wie [mm]F(x,y) : G \to K^{n}[/mm] stetig in
> erster Variable und lipschitzstetig bezüglich der zweiten
> Variable, dann besitzt AWP höchstens eine Lsg.
>
> D.h. wenn ich eine DGL mit AWP habe und ich mit Peano
> zeigen konnte das f stetig, dann heißt das ja das ich eine
> Lösung finde. Wenn ich jetzt noch zeigen kann das f
> bezüglich der zweiten Variable lipschitz-stetig ist, dann
> heißt das ja das die gefunden lösung eindeutig ist - weil
> ich ja laut grönwall nur höchstens eine Lsg finden kann.
> grönwall alleine sagt mir aber nichts über die existenz
> einer lösung. Ist das so richtig?
Ja.
> 4. Satz von Picard-Lindelöf
> der sag ja soviel wie: wenn f stetig und f bezügl. 2ter
> Variable lipschitzstetig, dann ist das AWP eindeutig
> lösbar.
> Ist das nicht bloß die Zusammenfassung von Piano und
> Grönwall?
Picard-Lindelöf folgt aus Peano und Grönwall, richtig. Aber der Satz ist insofern nett, dass man ihn seehr schön beweisen kann (Banachscher Fixpunktsatz) und der Beweis wurde so auch erst viel später entwickelt wenn ich mich nicht täusche.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 04.08.2009 | | Autor: | deex |
vielen dank erstmal für die gute antwort.
jedoch habe ich noch eine frage:
> Bleiben wir mal bei der DGL von oben, betrachte [mm]$t_0=0, x_0=1$.[/mm]
> Dann ist eine Lösung gegeben durch [mm]\varphi:(-1/2,1/2)\ni t\mapsto -\frac{1}{t+1}\in\IR[/mm]
> Eine Fortsetzung wäre [mm]\psi:\red{(-1,1)}\ni t\mapstohi-\frac{1}{t+1}\in\IR[/mm]
> d.h. [mm]$\psi$[/mm] und [mm]$\varphi$[/mm] stimmen auf ihrem gemeinsamen
> Definitionsbereich überein und [mm]$(-1/2,1/2)\subset[/mm] (-1,1)$.
> Die maximale Lösung ist [mm]\xi:\blue{(-1,\infty)}\ni t\mapsto -\frac{1}{t+1}\in\IR[/mm].
Gibt es hier denn nicht noch eine 2te maximale Lösung für [mm]t\in\IR[/mm]: und zwar
[mm]\tilde\xi:\green{(-\infty,-1)}\ni t\mapsto -\frac{1}{t+1}\in\IR[/mm]
Und angenommen ich liege damit richtig - würde das laut grönwall nicht bedeuten das die funktion bez. der 2ten variable nicht lipschitzstetig ist? oder bin ich damit komplett auf dem holzpfad?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 04.08.2009 | | Autor: | pelzig |
> Gibt es hier denn nicht noch eine 2te maximale Lösung für
> [mm]t\in\IR[/mm]: und zwar
> [mm]\tilde\xi:\green{(-\infty,-1)}\ni t\mapsto -\frac{1}{t+1}\in\IR[/mm]
Das ist keine Lösung des AWP, denn [mm] $\tilde\xi(t_0)$ [/mm] ist nicht definiert, m.a.W. [mm] $t_0\not\in(-\infty,-1)$.
[/mm]
> Und angenommen ich liege damit richtig - würde das laut
> grönwall nicht bedeuten das die funktion bez. der 2ten
> variable nicht lipschitzstetig ist?
Wenn die Lösung nicht eindeutig ist, kann das Vektorfeld nicht Lipschitzstetig gewesen sein, das ist richtig.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Di 04.08.2009 | | Autor: | deex |
danke für die antworten
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