Verständnisfrage zum Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 So 24.01.2016 | | Autor: | Manu271 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie ob nachfolgende Funktionenfolge punktweise oder gleichmäßige Konvergenz vorliegt:
[mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] mit [mm] a_n [/mm] : { z [mm] \in \IC [/mm] : |z| < 1 } [mm] \to \IC, a_n(z) [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{n} z^k [/mm] |
Hallo,
ich möchte bei dieser Aufgabe gleich zur Stelle springen, an der man gleichmäßige Konvergenz widerlegt:
Die Grenzfunktion habe ich ermittelt als: [mm] f=\begin{cases} 0, & \mbox{für } z = \mbox{0} \\ \bruch{1}{1-z}, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Sei z [mm] \not= [/mm] 0.
Dann:
[mm] |a_n(z) [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] | = [mm] |\bruch{1-z^{n+1}}{1-z} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-z}| [/mm] = [mm] |\bruch{-z^{n+1}}{1-z}| [/mm] = [mm] \bruch{|z|^{n+1}}{|1-z|} [/mm] für fast alle n
Wende ich jetzt [mm] \limes_{|z|\rightarrow 1} [/mm] an, so soll der gesamte Ausdruck gegen Unendlich streben.
Das ist mir nicht ganz klar, der Nenner wird unendlich klein, ja das verstehe ich.
Aber: [mm] |z|^{n+1} [/mm] ist doch äquivalent zu "0,9999...^{n+1}"
Das ist kleiner Eins und müsste doch für n gegen unendlich ebenfalls zu Null werden.
ich hoffe mir kann das jemand erklären.
LG
Manu271
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 So 24.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Entscheiden Sie ob nachfolgende Funktionenfolge punktweise
> oder gleichmäßige Konvergenz vorliegt:
> [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] mit [mm]a_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: { z [mm]\in \IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: |z| < 1 } [mm]\to \IC, a_n(z)[/mm]
> := [mm]\summe_{k=0}^{n} z^k[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte bei dieser Aufgabe gleich zur Stelle springen,
> an der man gleichmäßige Konvergenz widerlegt:
>
> Die Grenzfunktion habe ich ermittelt als: [mm]f=\begin{cases} 0, & \mbox{für } z = \mbox{0} \\ \bruch{1}{1-z}, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Sei z [mm]\not=[/mm] 0.
> Dann:
> [mm]|a_n(z)[/mm] - [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm] | = [mm]|\bruch{1-z^{n+1}}{1-z}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{1-z}|[/mm] = [mm]|\bruch{-z^{n+1}}{1-z}|[/mm] =
> [mm]\bruch{|z|^{n+1}}{|1-z|}[/mm] für fast alle n
>
> Wende ich jetzt [mm]\limes_{|z|\rightarrow 1}[/mm] an, so soll der
> gesamte Ausdruck gegen Unendlich streben.
> Das ist mir nicht ganz klar, der Nenner wird unendlich
> klein, ja das verstehe ich.
> Aber: [mm]|z|^{n+1}[/mm] ist doch äquivalent zu "0,9999...^{n+1}"
> Das ist kleiner Eins und müsste doch für n gegen
> unendlich ebenfalls zu Null werden.
> ich hoffe mir kann das jemand erklären.
Es ist doch n fest und z geht gegen 1 !
Fred
>
> LG
>
> Manu271
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 So 24.01.2016 | | Autor: | Manu271 |
Achso, ok das macht es logisch.
Vielen Dank, jetzt hab ich's verstanden :)
LG
Manu271
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