Verständnisfrage zur Integrati < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Do 14.01.2010 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | [mm] \integral_{}^{}{(2x+3)^3 dx}
[/mm]
Integrieren sie |
So meine frage ist, wieso man um zu Integrieren, die 2 einfach vernichten kann, indem man 1/2 davor schreibt ? Normaleweise müsste man doch faktoren/Konstanten vor das Integral ziehen können, warum muss man den Kehrwert bilden ?
Selbst wenn man dadurch die 2 bei 2x weggebkommt, so bezieht sich die zahl 1/2 auf den ganzen term 2x+3...
Denn die Lösung müsste ja sein 1/2 [mm] \integral_{}^{}{(x+3)^3dx}
[/mm]
und daraus ganz einfach 1/2 * 1/4 * [mm] (x+3)^4 [/mm] + C..
Kann mir jemand erläutern woher die 1/2 kommen oder besser warum man das so machen kann ?
Danke im Vorraus !
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Hallo Yumuura,
> [mm]\integral_{}^{}{(2x+3)^3 dx}[/mm]
>
> Integrieren sie
> So meine frage ist, wieso man um zu Integrieren, die 2
> einfach vernichten kann, indem man 1/2 davor schreibt ?
> Normaleweise müsste man doch faktoren/Konstanten vor das
> Integral ziehen können, warum muss man den Kehrwert bilden
> ?
>
> Selbst wenn man dadurch die 2 bei 2x weggebkommt, so
> bezieht sich die zahl 1/2 auf den ganzen term 2x+3...
>
> Denn die Lösung müsste ja sein 1/2
> [mm]\integral_{}^{}{(x+3)^3dx}[/mm]
> und daraus ganz einfach 1/2 * 1/4 * [mm](x+3)^4[/mm] + C..
>
> Kann mir jemand erläutern woher die 1/2 kommen oder besser
> warum man das so machen kann ?
Dieses Integral soll sicher mit einer Substitution gelöst werden.
$z:=z(x)=2x+3$
Damit ist [mm] $z'(x)=\frac{dz}{dx}=2$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{1}{2}dz$
[/mm]
Damit kommst du auf das Integral [mm] $\int{z^3 \ \frac{1}{2}dz}=\frac{1}{2}\int{z^3 \ dz}$
[/mm]
Mit dem Ausklammern klappt das so einfach, wie du es dir gemacht hast, nicht.
Es ist [mm] $(2x+3)^3=\left[2\cdot{}\left(x+\frac{3}{2}\right)\right]^3=2^3\cdot{}\left(x+\frac{3}{2}\right)^3=8\cdot{}\left(x+\frac{3}{2}\right)^3$
[/mm]
Da kannst du die 8 als multiplikative Konstante aus dem Integral ziehen und bekommst [mm] $8\cdot{}\int{\left(x+\frac{3}{2}\right)^3 \ dx}$
[/mm]
Auch hier empfiehlt sich dann eine Substitution [mm] $z:=z(x)=x+\frac{3}{2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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> Danke im Vorraus !
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