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Hallo, ich gehe gerade mein L.A.-Skript durch und da sind dann doch einige Fragen entstanden, die ich mir nicht beantworten konnte, und hoffe hier auf hilfe.
1. Lineare Abb.
f: V [mm] \to [/mm] W ist eine Lineare Abb., f ist bijektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f ist ein Isomorphismus
Frage:
Wieso impliziert das? ist das nicht eine Äquivalenz? Kann man nicht sagen, wenn f ein Isomorph ist, dann ist die Abb. linear und bijektiv?
2. Matrizen
Sei V ein K-VR und [mm] B=(b_1,...,b_2) [/mm] eine Basis. Ist [mm] \vektor{\lambda_1\\ .\\ .\\ .\\ \lambda_n} \in [/mm] K^(nx1) ein Spaltenvektor, so definieren wir.
(index B) [mm] \vektor{\lambda_1\\ .\\ .\\ .\\ \lambda_n}= \lambda_1 b_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_n b_n [/mm]
( [mm] )_B [/mm] und (index B)( ) sind inverse.
Frage:
Was ist denn der Unterschied, wenn einmal das B vor der Klammer steht und einmal nach der Klammer?
3. Dualräume:
f^*: W^* [mm] \to [/mm] V^*
l [mm] \mapsto [/mm] l * f
Es gilt:
a) [mm] (id_V)^ [/mm] * = [mm] id_V^ [/mm] *
b) [mm] v\in [/mm] V [mm] V_A [/mm] = [mm] \vektor{a^*_1 (v)\\.\\.\\.\\a^*_n(v)}
[/mm]
c) [mm] l\in [/mm] V^ * [mm] \Rightarrow l_A^* [/mm] = [mm] \vektor{l(a_1)\\.\\.\\.\\l(a_n)}
[/mm]
d) [mm] (M_B^A(f))_{ij} [/mm] = (b^*_j * [mm] f)(a_j)
[/mm]
Frage:
Also bei diesen Sachen weiß ich gar nicht, was das ganze bedeutet, wenn mir jemand das mal in Wörtern erklären könnte, das wäre super, denn Dualräume habe ich eh nicht so gut verstanden.
4. Lineare GS
Ist [mm] A\in [/mm] K^(mxn) und [mm] b\in [/mm] K^(mx1) und [mm] f_A(x)=Ax. [/mm] dann gilt
1) [mm] f_A [/mm] ist surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt min. eine Lösung
2) [mm] f_A [/mm] ist injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt max. eine Lösung
3) [mm] f_A [/mm] ist bijektiv [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt genau eine Lösung
Frage:
Hier die gleiche Frage wie zu 1. Warum impliziert es, wäre Äquivalenz falsch, wenn ja warum?
und zu letzt.
Darf man eigenlich beim Gaußalgo. auch Spalten vertauschen oder nur Zeilen????
Bedanke mich schon mal im Voraus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Sa 19.01.2008 | | Autor: | jaruleking |
Niemand ne Ahnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
Also erstmal: ein "hoch-stern" machste mit " ^ [mm] \{\backslash\*\} [/mm] ".
1) Also bei uns ist das eine Definition. "Eine bijektive, lineare Abbildung heißt Isomorphismus".
2) Wenn du mir sagst, was ( [mm] )_{B} [/mm] bei euch heisst, dann könnt ich antworten.
3) Also hier weiss ich meist nich was du meinst, und die nächste Zeile heisst wohl: [mm] f^{\*}: W^{\*} \to V^{\*}, [/mm] l [mm] \mapsto [/mm] l [mm] \circ [/mm] f .
a) Sollte das [mm] (id_{V})^{\*} [/mm] = [mm] id_{V^{\*}} [/mm] heißen? Wenn ja, dann schau hier eine Zeile höher, da steht l [mm] \mapsto [/mm] l [mm] \circ [/mm] f, und da f = [mm] id_{V} [/mm] kannste es einfach weglassen, und dann steht da l [mm] \mapsto [/mm] l, also die [mm] id_{V^{\*}}.
[/mm]
b,c) Hier weiss ich nicht was A ist, bzw. was mit [mm] V_{A} [/mm] und [mm] l_{A} [/mm] gemeint ist.
d) Auch hier wieder die Frage was du damit meinst, weil du nicht alles hinschreibst. Ist [mm] a_{j} [/mm] der j-te Basisvektor der Basis A? Ist [mm] b^{\*}_{j} [/mm] der j-te Basisvektor der dualen Basis von B?
Ich denke mal, dass dies die Formel zur Berechnung der darstellenden Matrix sein soll: [mm] (M^{A}_{B})^{T}(f) [/mm] = [mm] M^{B^{\*}}_{A^{\*}}(f^{\*}).
[/mm]
4) Äquivalent wäre hier falsch. Z.B. nur weil die Lösung b einmal "getroffen" wird, heisst das noch lange nicht, dass alle anderen Lösungen auch nur einmal getroffen werden.
Beim Gauß-Algorithmus kannste auch Spalten vertauschen, nur dann musst du auch dementsprechend die Variablen umbennen. Wenn du z.B. die zweite und dritte Spalte vertauschst, dann ist bei deiner Lösung dann ebenfalls die zweite und dritte Spalte vertauscht.
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