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Hallo ich habe paar Ankreuzaufgaben, weiß jedoch nicht, warum die Antwort so ausfällt und würde mich deshalb freuen, wenn mir jemand die Lösung erläutern könnte.
Vorneweg ne Frage:
Wenn ein VR endlichdim. ist, und die Abb. surjektiv ist, folgt daraus immer, dass die Abb. auch bijektiv ist???
So jetzt zu meinen schönen Aufgaben:
1. Sei K ein Körper, seien A [mm] \in [/mm] K^(mxn), b [mm] \in [/mm] K^(mx1), x [mm] \in [/mm] K^(nx1). Gegeben sei das lineare GLS Ax=b. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen möglich oder unmöglich sind.
a. unmöglich: Ax=b hat genau eine Lösung, und Ax=0 hat unendlich viele Lösungen.
b. möglich: Ax=0 ist eindeutig lösbar, und Ax=b ist unlösbar.
c. möglich: Ax=b hat genau 64 Lösungen.
irgendwie weiß ich nicht, wie ich mir diese Aussagen erklären kann.
2. Sei V ein endlichdim. [mm] \IC-VR, [/mm] und sei f: [mm] V\toV [/mm] linear. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen immer warh oder manchmal falsch sind.
a. immer wahr: Ker f=Eig(f,0)
b. immer wahr: Ist v ein EV von F, dann ist 2v ein EV von f.
c: manchmal falsch: Sind v,w EV von f, dann ist v+w EV von f.
Für nähere Erläuterungen und Begründungen zu diesen Aufgaben wäre ich sehr dankbar.
Gruß
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> Vorneweg ne Frage:
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> Wenn ein VR endlichdim. ist, und die Abb. surjektiv ist,
> folgt daraus immer, dass die Abb. auch bijektiv ist???
Hallo,
nein, das folgt nur, wenn die Dimension des Zielraumes gleich der des Startraumes ist.
>
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> So jetzt zu meinen schönen Aufgaben:
>
> 1. Sei K ein Körper, seien A [mm]\in[/mm] K^(mxn), b [mm]\in[/mm] K^(mx1), x
> [mm]\in[/mm] K^(nx1). Gegeben sei das lineare GLS Ax=b. Entscheiden
> Sie, ob die folgenden Aussagen möglich oder unmöglich
> sind.
>
> a. unmöglich: Ax=b hat genau eine Lösung, und Ax=0 hat
> unendlich viele Lösungen.
Falls b=0 ist das ja sowieso Blödsinn.
Sei also [mm] b\not=0.
[/mm]
Dann mußt man wissen, daß man den Lösungsraum eines inhomogenen GSs erhält, indem man eine Lösung der homogenen Gleichung nimmt und dazu den Lösungsraum des homogenen Systems addiert.
>
> b. möglich: Ax=0 ist eindeutig lösbar, und Ax=b ist
> unlösbar.
Du mußt hier Bescheid wisssen über den Rang der Koeffizientenmatrix und den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, guck Dir diese Geschichten an - wird gerne mal gefragt, falls es in Klausuren Multiple Choice- Fragen gibt.
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }x=\vektor{0 \\ 0} [/mm] hat Lösungen, [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }x=\vektor{1 \\ 5} [/mm] hat keine Lösung.
>
> c. möglich: Ax=b hat genau 64 Lösungen.
Das bedeutet ja, daß der Lösungsraum des homogenen Systems genau 64 Lösungen hat. Das kann, wenn Du einen VR über einem unendlichen Körper, z.B. [mm] \IR [/mm] betrachtest, nicht passieren.
Wenn Du aber [mm] K^2 [/mm] mit K= der Körper mit 64 Elementen betrachtest, und hierin den Lösungsraum der Gleichung
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }x=\vektor{1 \\ 0} [/mm]
betrachtest, dann ja.
> 2. Sei V ein endlichdim. [mm]\IC-VR,[/mm] und sei f: [mm]V\toV[/mm] linear.
> Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen immer warh oder
> manchmal falsch sind.
>
> a. immer wahr: Ker f=Eig(f,0)
Hierzu mußt Du wissen, was mit Eig(f,0) gemeint ist: der Eigenraum von f zum Eigenwert 0 .
Wie rechnet man den aus? Eig(f,0)=Kern(f-0*id)=kernf.
>
> b. immer wahr: Ist v ein EV von F, dann ist 2v ein EV von
> f.
Sei v eine EV von f zum EW [mm] \lambda.
[/mm]
Berechne f(2v).
>
> c: manchmal falsch: Sind v,w EV von f, dann ist v+w EV von
> f.
Sei v EV von f. dann ist auch w:=-v EV von f. Und v+w?
Gruß v. Angela
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Hallo, danke erstmal für die super Begründung, dadurch ist doch vieles klarer geworden. aber eine kleine sache habe ich noch nicht so genau verstanden, und zwar bei der letzten.
w:=-v EV von f. Und v+w?
geht das deshalb nicht, weil man das ja als eine kleine gleichung ansehen kann. und wie du sagst, v ist EV von f und w ist als -v definiert. so würde ja v+w=0 ergeben und das geht ja nicht, habe ich das so richtig verstanden?
gruß
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Hallo,
v+w=v-v=0 ist kein Eigenvektor, weil Eigenvektoren definitionsgemäß [mm] \not=0 [/mm] sind.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Fr 15.02.2008 | | Autor: | jaruleking |
Ok, besten dank.
gruß
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Hallo, darf ich nochmal kurz eine Frage stellen. Und zwar geht es immer noch um die Aufgabe 2 teil b. so wie es mir erklärt wurde, habe ich es auch verstanden, nur eine kleinigkeit:
c: manchmal falsch: Sind v,w EV von f, dann ist v+w EV von f.
so warum kann man jetzt annehmen, dass w:=-v gilt?
weil da steht ja nicht ..., dann ist v+w=0 EV von f, sondern nur v+w.
danke für ne antwort.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dass w=-v hat man nur angenommen, um ein Gegenbeispiel zu erzeugen. Um eine Behauptung zu widerlegen genügt ja schon ein einziges Gegenbeispiel, was hiermit gefunden wurde.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mi 20.02.2008 | | Autor: | jaruleking |
achja, stimmt. dumme frage von.
ok, trotzdem danke.
gruß
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